Номер 13.16, страница 324 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств - номер 13.16, страница 324.

Условие.

13.16 a) $|\lg(x - 3)| + 2 = |\cos \pi x + 1|;$

б) $|\lg(x - 2)| + 1 = -\cos \pi x;$

в) $|\lg(x - 5)| + 2 = \sqrt{4 - (x - 6)^2};$

г) $|\lg(x - 4)| + 3 = \sqrt{9 - (x - 5)^2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $|\lg(x-3)| + 2 = |\cos(\pi x) + 1|$

Данное уравнение будем решать методом оценки, анализируя множества значений левой и правой частей.

1. Рассмотрим левую часть уравнения: $f(x) = |\lg(x-3)| + 2$.
Область определения логарифмической функции требует, чтобы аргумент был строго положителен: $x-3 > 0$, откуда $x > 3$.
По определению модуля, $|\lg(x-3)| \ge 0$ для всех $x$ из области определения.
Следовательно, вся левая часть $f(x) = |\lg(x-3)| + 2 \ge 0 + 2 = 2$.
Таким образом, наименьшее значение левой части равно 2.

2. Рассмотрим правую часть уравнения: $g(x) = |\cos(\pi x) + 1|$.
Область значений функции косинус: $-1 \le \cos(\pi x) \le 1$.
Прибавив 1 ко всем частям неравенства, получим: $0 \le \cos(\pi x) + 1 \le 2$.
Поскольку выражение $\cos(\pi x) + 1$ всегда неотрицательно, модуль можно опустить: $|\cos(\pi x) + 1| = \cos(\pi x) + 1$.
Таким образом, множество значений правой части — это отрезок $[0, 2]$. Наибольшее значение правой части равно 2.

3. Исходное равенство $|\lg(x-3)| + 2 = \cos(\pi x) + 1$ возможно только в том случае, когда левая часть принимает свое наименьшее значение, а правая — наибольшее, и эти значения равны. То есть, обе части уравнения должны быть равны 2. Это эквивалентно решению системы уравнений:

$\begin{cases} |\lg(x-3)| + 2 = 2 \\ \cos(\pi x) + 1 = 2 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:
$|\lg(x-3)| = 0$
$\lg(x-3) = 0$
$x-3 = 10^0$
$x-3 = 1$
$x = 4$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденное значение $x=4$ второму уравнению системы и области определения ($x>3$).
Корень $x=4$ удовлетворяет условию $x>3$.
Подставим $x=4$ во второе уравнение $\cos(\pi x) + 1 = 2$ (или $\cos(\pi x) = 1$):
$\cos(4\pi) = 1$.
Равенство $1=1$ верно. Следовательно, $x=4$ является единственным решением исходного уравнения.

Ответ: $4$

б) $|\lg(x-2)| + 1 = -\cos(\pi x)$

Решим уравнение методом оценки.

1. Левая часть: $f(x) = |\lg(x-2)| + 1$.
Область определения: $x-2 > 0 \implies x > 2$.
Так как $|\lg(x-2)| \ge 0$, то $f(x) = |\lg(x-2)| + 1 \ge 1$.
Наименьшее значение левой части равно 1.

2. Правая часть: $g(x) = -\cos(\pi x)$.
Множество значений функции $\cos(\pi x)$ есть отрезок $[-1, 1]$.
Соответственно, множество значений функции $g(x) = -\cos(\pi x)$ также является отрезком $[-1, 1]$.
Наибольшее значение правой части равно 1.

3. Равенство возможно только тогда, когда левая часть равна своему минимуму, а правая — своему максимуму, то есть обе части равны 1. Получаем систему:

$\begin{cases} |\lg(x-2)| + 1 = 1 \\ -\cos(\pi x) = 1 \end{cases}$

Решаем первое уравнение:
$|\lg(x-2)| = 0$
$\lg(x-2) = 0$
$x-2 = 10^0 = 1$
$x = 3$

Проверяем найденный корень. Он удовлетворяет ОДЗ ($3>2$).
Подставляем $x=3$ во второе уравнение, которое равносильно $\cos(\pi x)=-1$:
$\cos(3\pi) = -1$.
Равенство $-1=-1$ верно. Значит, $x=3$ - единственное решение.

Ответ: $3$

в) $|\lg(x-5)| + 2 = \sqrt{4 - (x-6)^2}$

Воспользуемся методом оценки левой и правой частей.

1. Левая часть: $f(x) = |\lg(x-5)| + 2$.
ОДЗ: $x-5 > 0 \implies x > 5$.
Так как $|\lg(x-5)| \ge 0$, то $f(x) = |\lg(x-5)| + 2 \ge 2$.
Наименьшее значение левой части равно 2.

2. Правая часть: $g(x) = \sqrt{4 - (x-6)^2}$.
ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
$4 - (x-6)^2 \ge 0 \implies (x-6)^2 \le 4 \implies |x-6| \le 2 \implies -2 \le x-6 \le 2 \implies 4 \le x \le 8$.

Общая область определения уравнения — это пересечение $(5, \infty)$ и $[4, 8]$, что дает интервал $(5, 8]$.

Теперь оценим значения правой части. Выражение $\sqrt{4 - (x-6)^2}$ достигает своего максимума, когда вычитаемое $(x-6)^2$ минимально, то есть равно 0. Это происходит при $x=6$.
Максимальное значение $g(6) = \sqrt{4-0} = 2$.
Поскольку квадратный корень всегда неотрицателен, $g(x) \ge 0$. Таким образом, множество значений правой части — это $[0, 2]$.

3. Сравнивая оценки, видим, что равенство возможно только если обе части равны 2. Это эквивалентно системе:

$\begin{cases} |\lg(x-5)| + 2 = 2 \\ \sqrt{4 - (x-6)^2} = 2 \end{cases}$

Решение системы сводится к нахождению такого значения $x$, при котором обе части одновременно достигают своих экстремальных значений.
Левая часть равна 2 при: $|\lg(x-5)|=0 \implies \lg(x-5)=0 \implies x-5=1 \implies x=6$.
Правая часть равна 2 при: $\sqrt{4 - (x-6)^2}=2 \implies 4 - (x-6)^2 = 4 \implies (x-6)^2=0 \implies x=6$.

Оба условия выполняются при $x=6$. Этот корень принадлежит общей области определения $(5, 8]$.

Ответ: $6$

г) $|\lg(x-4)| + 3 = \sqrt{9 - (x-5)^2}$

Применим метод оценки.

1. Левая часть: $f(x) = |\lg(x-4)| + 3$.
ОДЗ: $x-4 > 0 \implies x > 4$.
Поскольку $|\lg(x-4)| \ge 0$, то $f(x) = |\lg(x-4)| + 3 \ge 3$.
Минимальное значение левой части равно 3.

2. Правая часть: $g(x) = \sqrt{9 - (x-5)^2}$.
ОДЗ: $9 - (x-5)^2 \ge 0 \implies (x-5)^2 \le 9 \implies |x-5| \le 3 \implies -3 \le x-5 \le 3 \implies 2 \le x \le 8$.

Общая ОДЗ: $(4, \infty) \cap [2, 8] = (4, 8]$.

Максимальное значение правой части достигается, когда $(x-5)^2 = 0$, то есть при $x=5$.
$g(5) = \sqrt{9-0} = 3$.
Множество значений правой части есть отрезок $[0, 3]$.

3. Равенство возможно, только если левая часть равна своему минимуму (3), а правая — своему максимуму (3). Это эквивалентно решению системы:

$\begin{cases} |\lg(x-4)| + 3 = 3 \\ \sqrt{9 - (x-5)^2} = 3 \end{cases}$

Решаем систему:
Из первого уравнения: $|\lg(x-4)|=0 \implies \lg(x-4)=0 \implies x-4=10^0=1 \implies x=5$.
Из второго уравнения: $\sqrt{9 - (x-5)^2} = 3 \implies 9 - (x-5)^2 = 9 \implies (x-5)^2=0 \implies x=5$.

Оба уравнения дают $x=5$. Это значение входит в общую ОДЗ $(4, 8]$.

Ответ: $5$