Номер 13.12, страница 319 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств - номер 13.12, страница 319.

Условие.

13.12* Докажите, что не имеет корней уравнение:

а) $x^6 + 2x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 2 = 0;$

б) $x^6 + 2x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 4x + 4 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Рассмотрим уравнение $x^6 + 2x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 2 = 0$.

Преобразуем левую часть уравнения, выделив полные квадраты. Для этого представим ее в виде следующей суммы:

$(x^6 + 2x^5 + x^4) + (x^4 + 2x^3 + x^2) + (x^2 + 2x + 1) + 1$.

Раскрыв скобки, можно убедиться, что это выражение тождественно левой части исходного уравнения:

$x^6 + 2x^5 + (x^4 + x^4) + 2x^3 + (x^2 + x^2) + 2x + 1 + 1 = x^6 + 2x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 2$.

Теперь каждую группу в скобках можно свернуть как полный квадрат:

$(x^3 + x^2)^2 + (x^2 + x)^2 + (x + 1)^2 + 1 = 0$.

Рассмотрим полученное уравнение. Выражения $(x^3 + x^2)^2$, $(x^2 + x)^2$ и $(x + 1)^2$ являются квадратами действительных выражений, поэтому их значения всегда неотрицательны для любого действительного $x$:

$(x^3 + x^2)^2 \ge 0$

$(x^2 + x)^2 \ge 0$

$(x + 1)^2 \ge 0$

Сумма этих трех неотрицательных слагаемых также будет неотрицательной:

$(x^3 + x^2)^2 + (x^2 + x)^2 + (x + 1)^2 \ge 0$.

Если к неотрицательному выражению прибавить 1, результат будет не меньше 1:

$(x^3 + x^2)^2 + (x^2 + x)^2 + (x + 1)^2 + 1 \ge 1$.

Таким образом, левая часть уравнения всегда строго больше нуля (она больше или равна 1). Следовательно, она никогда не может быть равна нулю. Это доказывает, что у уравнения нет действительных корней.

Ответ: доказано, что уравнение не имеет корней.

б) Рассмотрим уравнение $x^6 + 2x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 4x + 4 = 0$.

Как и в предыдущем пункте, преобразуем левую часть уравнения, представив ее в виде суммы квадратов. Сгруппируем слагаемые:

$(x^6 + 2x^5 + x^4) + (x^4 + 2x^3 + x^2) + (x^2 + 4x + 4)$.

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, убеждаемся, что получили исходное выражение:

$x^6 + 2x^5 + (x^4 + x^4) + 2x^3 + (x^2 + x^2) + 4x + 4 = x^6 + 2x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 4x + 4$.

Теперь свернем каждую группу в полный квадрат:

$(x^3 + x^2)^2 + (x^2 + x)^2 + (x + 2)^2 = 0$.

Сумма квадратов действительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. Таким образом, для того чтобы данное уравнение имело решение, необходимо одновременное выполнение трех условий:

$x^3 + x^2 = 0$

$x^2 + x = 0$

$x + 2 = 0$

Это система из трех уравнений с одной переменной. Найдем ее решение.

Из третьего уравнения сразу получаем: $x + 2 = 0 \implies x = -2$.

Проверим, является ли $x=-2$ решением двух других уравнений. Подставим это значение во второе уравнение:

$(-2)^2 + (-2) = 4 - 2 = 2$.

Так как $2 \neq 0$, значение $x=-2$ не удовлетворяет второму уравнению. Этого уже достаточно, чтобы заключить, что система не имеет решений.

Для полноты анализа найдем корни каждого уравнения по отдельности:

1) $x^3 + x^2 = x^2(x + 1) = 0$, откуда $x=0$ или $x=-1$.

2) $x^2 + x = x(x + 1) = 0$, откуда $x=0$ или $x=-1$.

3) $x + 2 = 0$, откуда $x=-2$.

Как видим, у трех уравнений нет общего корня. Следовательно, система не имеет решений.

Это означает, что не существует такого действительного числа $x$, при котором все три слагаемых $(x^3 + x^2)^2$, $(x^2 + x)^2$ и $(x + 2)^2$ одновременно равны нулю. Поскольку каждое из слагаемых является квадратом, оно неотрицательно. Их сумма может быть равна нулю только если все они равны нулю одновременно, что, как мы показали, невозможно. Значит, их сумма всегда строго положительна.

Таким образом, левая часть уравнения никогда не может быть равна нулю, и уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: доказано, что уравнение не имеет корней.