Номер 13.12, страница 319 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Тип: Учебник

Серия: мгу - школе

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой в сеточку

ISBN: 978-5-09-087641-4

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 13.12, страница 319.

№13.12 (с. 319)
Условие. №13.12 (с. 319)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 319, номер 13.12, Условие

13.12* Докажите, что не имеет корней уравнение:

а) $x^6 + 2x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 2 = 0;$

б) $x^6 + 2x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 4x + 4 = 0.$

Решение 1. №13.12 (с. 319)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 319, номер 13.12, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 319, номер 13.12, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 2. №13.12 (с. 319)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 319, номер 13.12, Решение 2
Решение 4. №13.12 (с. 319)

а) Рассмотрим уравнение $x^6 + 2x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 2 = 0$.

Преобразуем левую часть уравнения, выделив полные квадраты. Для этого представим ее в виде следующей суммы:

$(x^6 + 2x^5 + x^4) + (x^4 + 2x^3 + x^2) + (x^2 + 2x + 1) + 1$.

Раскрыв скобки, можно убедиться, что это выражение тождественно левой части исходного уравнения:

$x^6 + 2x^5 + (x^4 + x^4) + 2x^3 + (x^2 + x^2) + 2x + 1 + 1 = x^6 + 2x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 2$.

Теперь каждую группу в скобках можно свернуть как полный квадрат:

$(x^3 + x^2)^2 + (x^2 + x)^2 + (x + 1)^2 + 1 = 0$.

Рассмотрим полученное уравнение. Выражения $(x^3 + x^2)^2$, $(x^2 + x)^2$ и $(x + 1)^2$ являются квадратами действительных выражений, поэтому их значения всегда неотрицательны для любого действительного $x$:

$(x^3 + x^2)^2 \ge 0$

$(x^2 + x)^2 \ge 0$

$(x + 1)^2 \ge 0$

Сумма этих трех неотрицательных слагаемых также будет неотрицательной:

$(x^3 + x^2)^2 + (x^2 + x)^2 + (x + 1)^2 \ge 0$.

Если к неотрицательному выражению прибавить 1, результат будет не меньше 1:

$(x^3 + x^2)^2 + (x^2 + x)^2 + (x + 1)^2 + 1 \ge 1$.

Таким образом, левая часть уравнения всегда строго больше нуля (она больше или равна 1). Следовательно, она никогда не может быть равна нулю. Это доказывает, что у уравнения нет действительных корней.

Ответ: доказано, что уравнение не имеет корней.

б) Рассмотрим уравнение $x^6 + 2x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 4x + 4 = 0$.

Как и в предыдущем пункте, преобразуем левую часть уравнения, представив ее в виде суммы квадратов. Сгруппируем слагаемые:

$(x^6 + 2x^5 + x^4) + (x^4 + 2x^3 + x^2) + (x^2 + 4x + 4)$.

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, убеждаемся, что получили исходное выражение:

$x^6 + 2x^5 + (x^4 + x^4) + 2x^3 + (x^2 + x^2) + 4x + 4 = x^6 + 2x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 4x + 4$.

Теперь свернем каждую группу в полный квадрат:

$(x^3 + x^2)^2 + (x^2 + x)^2 + (x + 2)^2 = 0$.

Сумма квадратов действительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. Таким образом, для того чтобы данное уравнение имело решение, необходимо одновременное выполнение трех условий:

$x^3 + x^2 = 0$

$x^2 + x = 0$

$x + 2 = 0$

Это система из трех уравнений с одной переменной. Найдем ее решение.

Из третьего уравнения сразу получаем: $x + 2 = 0 \implies x = -2$.

Проверим, является ли $x=-2$ решением двух других уравнений. Подставим это значение во второе уравнение:

$(-2)^2 + (-2) = 4 - 2 = 2$.

Так как $2 \neq 0$, значение $x=-2$ не удовлетворяет второму уравнению. Этого уже достаточно, чтобы заключить, что система не имеет решений.

Для полноты анализа найдем корни каждого уравнения по отдельности:

1) $x^3 + x^2 = x^2(x + 1) = 0$, откуда $x=0$ или $x=-1$.

2) $x^2 + x = x(x + 1) = 0$, откуда $x=0$ или $x=-1$.

3) $x + 2 = 0$, откуда $x=-2$.

Как видим, у трех уравнений нет общего корня. Следовательно, система не имеет решений.

Это означает, что не существует такого действительного числа $x$, при котором все три слагаемых $(x^3 + x^2)^2$, $(x^2 + x)^2$ и $(x + 2)^2$ одновременно равны нулю. Поскольку каждое из слагаемых является квадратом, оно неотрицательно. Их сумма может быть равна нулю только если все они равны нулю одновременно, что, как мы показали, невозможно. Значит, их сумма всегда строго положительна.

Таким образом, левая часть уравнения никогда не может быть равна нулю, и уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: доказано, что уравнение не имеет корней.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 13.12 расположенного на странице 319 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №13.12 (с. 319), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.