Номер 13.14, страница 323 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 13.14, страница 323.

Условие.

13.14 a) $x^2 - \pi x + \frac{\pi^2}{4} = \sin x - 1$;

б) $x^2 - 4\pi x + 4\pi^2 = \cos x - 1;$

В) $x^2 + 2\pi x + \pi^2 = \sin x - 1;$

Г) $x^2 - 2\pi x + \pi^2 = \cos x - 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Решим уравнение $x^2 - \pi x + \frac{\pi^2}{4} = \sin x - 1$.

Рассмотрим левую часть уравнения (ЛЧ): $f(x) = x^2 - \pi x + \frac{\pi^2}{4}$. Это выражение является полным квадратом:

$f(x) = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{\pi}{2} + (\frac{\pi}{2})^2 = (x - \frac{\pi}{2})^2$.

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $f(x) = (x - \frac{\pi}{2})^2 \ge 0$. Наименьшее значение левой части равно 0 и достигается при $x = \frac{\pi}{2}$.

Рассмотрим правую часть уравнения (ПЧ): $g(x) = \sin x - 1$.

Область значений функции $\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для $g(x)$ имеем:

$-1 - 1 \le \sin x - 1 \le 1 - 1$, что дает $-2 \le g(x) \le 0$.

Наибольшее значение правой части равно 0.

Исходное равенство $f(x) = g(x)$ возможно тогда и только тогда, когда обе части принимают одно и то же значение. Так как $f(x) \ge 0$ и $g(x) \le 0$, равенство может выполняться только если обе части равны 0.

Таким образом, мы приходим к системе уравнений:

$\begin{cases} (x - \frac{\pi}{2})^2 = 0 \\ \sin x - 1 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $x - \frac{\pi}{2} = 0$, то есть $x = \frac{\pi}{2}$.

Из второго уравнения следует, что $\sin x = 1$.

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $x = \frac{\pi}{2}$ второму уравнению: $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Это верное равенство.

Следовательно, $x = \frac{\pi}{2}$ является единственным решением данного уравнения.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

б) Решим уравнение $x^2 - 4\pi x + 4\pi^2 = \cos x - 1$.

Преобразуем левую часть уравнения, выделив полный квадрат:

$x^2 - 4\pi x + 4\pi^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot (2\pi) + (2\pi)^2 = (x - 2\pi)^2$.

Левая часть уравнения $(x - 2\pi)^2 \ge 0$ для всех $x$. Минимум, равный 0, достигается при $x = 2\pi$.

Рассмотрим правую часть: $\cos x - 1$.

Область значений функции $\cos x$ — это $[-1, 1]$. Значит, область значений выражения $\cos x - 1$ — это $[-2, 0]$. Максимум, равный 0, достигается, когда $\cos x = 1$.

Равенство возможно только если обе части равны 0. Получаем систему:

$\begin{cases} (x - 2\pi)^2 = 0 \\ \cos x - 1 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения находим $x = 2\pi$.

Из второго уравнения $\cos x = 1$.

Подставим $x = 2\pi$ во второе уравнение: $\cos(2\pi) = 1$. Равенство верное.

Таким образом, $x = 2\pi$ — единственное решение.

Ответ: $2\pi$.

в) Решим уравнение $x^2 + 2\pi x + \pi^2 = \sin x - 1$.

Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат:

$x^2 + 2\pi x + \pi^2 = (x + \pi)^2$.

Выражение $(x + \pi)^2 \ge 0$ для всех $x$. Минимальное значение 0 достигается при $x = -\pi$.

Правая часть уравнения: $\sin x - 1$.

Как и в пункте а), область значений правой части — $[-2, 0]$. Максимальное значение 0 достигается, когда $\sin x = 1$.

Равенство возможно, только если обе части равны 0. Составляем систему:

$\begin{cases} (x + \pi)^2 = 0 \\ \sin x - 1 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения $x + \pi = 0$, откуда $x = -\pi$.

Из второго уравнения $\sin x = 1$.

Проверим, удовлетворяет ли $x = -\pi$ второму уравнению: $\sin(-\pi) = 0$.

Так как $0 \neq 1$, то значение $x = -\pi$ не является решением второго уравнения. Поскольку только при $x = -\pi$ левая часть равна 0, а при этом значении правая часть не равна 0, то система не имеет решений. Следовательно, и исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

г) Решим уравнение $x^2 - 2\pi x + \pi^2 = \cos x - 1$.

Левая часть уравнения является полным квадратом:

$x^2 - 2\pi x + \pi^2 = (x - \pi)^2$.

Значение этого выражения всегда неотрицательно: $(x - \pi)^2 \ge 0$. Минимум 0 достигается при $x = \pi$.

Правая часть уравнения: $\cos x - 1$.

Как и в пункте б), область значений правой части — $[-2, 0]$. Максимум 0 достигается, когда $\cos x = 1$.

Равенство возможно, только если обе части равны 0. Получаем систему:

$\begin{cases} (x - \pi)^2 = 0 \\ \cos x - 1 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения $x - \pi = 0$, откуда $x = \pi$.

Из второго уравнения $\cos x = 1$.

Проверим, является ли $x = \pi$ решением второго уравнения: $\cos(\pi) = -1$.

Поскольку $-1 \neq 1$, значение $x = \pi$ не удовлетворяет второму уравнению. Система не имеет решений, а значит и исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.