Номер 13.17, страница 324 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств - номер 13.17, страница 324.

Условие.

13.17 a) $2 \cos^2 (x \sin x) = 2 + |\log_2(x^2 - 4x + 1)|;$

б) $3 \sin^2 \left(\frac{\pi x}{2} \cdot \sin \frac{\pi x}{2}\right) = 3 + \log_3 (x^2 - 6x + 10).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $2\cos^2(x \sin x) = 2 + |\log_2(x^2 - 4x + 1)|$

Для решения данного уравнения воспользуемся методом оценки. Рассмотрим левую и правую части уравнения по отдельности.

1. Оценка левой части (ЛЧ): $f(x) = 2\cos^2(x \sin x)$.

Область значений функции косинус: $-1 \le \cos(t) \le 1$.

Следовательно, для квадрата косинуса: $0 \le \cos^2(t) \le 1$.

Для левой части уравнения получаем: $0 \le 2\cos^2(x \sin x) \le 2$. Таким образом, ЛЧ $\le 2$.

2. Оценка правой части (ПЧ): $g(x) = 2 + |\log_2(x^2 - 4x + 1)|$.

Модуль любого числа является неотрицательной величиной: $|\log_2(x^2 - 4x + 1)| \ge 0$.

Следовательно, для правой части уравнения получаем: $2 + |\log_2(x^2 - 4x + 1)| \ge 2$. Таким образом, ПЧ $\ge 2$.

3. Условие равенства.

Равенство ЛЧ = ПЧ возможно только в том случае, когда обе части равны 2. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} 2\cos^2(x \sin x) = 2 \\ 2 + |\log_2(x^2 - 4x + 1)| = 2 \end{cases}$

Решим второе уравнение системы:

$|\log_2(x^2 - 4x + 1)| = 0$

$\log_2(x^2 - 4x + 1) = 0$

По определению логарифма:

$x^2 - 4x + 1 = 2^0$

$x^2 - 4x + 1 = 1$

$x^2 - 4x = 0$

$x(x - 4) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Проверим область допустимых значений логарифма $x^2 - 4x + 1 > 0$. При $x=0$ и $x=4$ выражение $x^2 - 4x + 1$ равно 1, что больше 0. Оба корня допустимы.

Теперь подставим найденные значения $x$ в первое уравнение системы $2\cos^2(x \sin x) = 2$, или $\cos^2(x \sin x) = 1$.

При $x=0$:

$\cos^2(0 \cdot \sin 0) = \cos^2(0) = 1^2 = 1$. Равенство выполняется. Значит, $x=0$ является корнем исходного уравнения.

При $x=4$:

$\cos^2(4 \sin 4) = 1$.

Это равенство выполняется, если $4 \sin 4 = k\pi$, где $k$ - целое число. Отсюда $\sin 4 = \frac{k\pi}{4}$.

Так как $-1 \le \sin 4 \le 1$, то должно выполняться неравенство $-1 \le \frac{k\pi}{4} \le 1$, или $-\frac{4}{\pi} \le k \le \frac{4}{\pi}$.

Учитывая, что $\pi \approx 3.14$, получаем $-1.27 \le k \le 1.27$. Целые значения $k$, удовлетворяющие этому условию: $k \in \{-1, 0, 1\}$.

- Если $k=0$, то $\sin 4 = 0$, что неверно, так как 4 не является кратным $\pi$.

- Если $k=1$, то $\sin 4 = \pi/4$. Это неверно.

- Если $k=-1$, то $\sin 4 = -\pi/4$. Это также неверно, так как $\sin 4 \approx -0.7568$, а $-\pi/4 \approx -0.7854$.

Так как $4 \sin 4$ не равно $k\pi$ ни для какого целого $k$, то $x=4$ не является корнем.

Таким образом, единственным решением является $x=0$.

Ответ: $0$.

б) $3\sin^2\left(\frac{\pi x}{2} \cdot \sin\frac{\pi x}{2}\right) = 3 + \log_3(x^2 - 6x + 10)$

Для решения данного уравнения также воспользуемся методом оценки.

1. Оценка левой части (ЛЧ): $f(x) = 3\sin^2\left(\frac{\pi x}{2} \cdot \sin\frac{\pi x}{2}\right)$.

Область значений функции синус: $-1 \le \sin(t) \le 1$.

Следовательно, для квадрата синуса: $0 \le \sin^2(t) \le 1$.

Для левой части уравнения получаем: $0 \le 3\sin^2\left(\frac{\pi x}{2} \cdot \sin\frac{\pi x}{2}\right) \le 3$. Таким образом, ЛЧ $\le 3$.

2. Оценка правой части (ПЧ): $g(x) = 3 + \log_3(x^2 - 6x + 10)$.

Рассмотрим выражение под знаком логарифма: $x^2 - 6x + 10$. Выделим полный квадрат:

$x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 6x + 9) + 1 = (x - 3)^2 + 1$.

Так как $(x - 3)^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $(x - 3)^2 + 1 \ge 1$.

Поскольку основание логарифма $3 > 1$, функция $\log_3(t)$ является возрастающей. Следовательно:

$\log_3(x^2 - 6x + 10) = \log_3((x-3)^2+1) \ge \log_3(1) = 0$.

Для правой части уравнения получаем: $3 + \log_3(x^2 - 6x + 10) \ge 3+0 = 3$. Таким образом, ПЧ $\ge 3$.

3. Условие равенства.

Равенство ЛЧ = ПЧ возможно только в том случае, когда обе части равны 3. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} 3\sin^2\left(\frac{\pi x}{2} \cdot \sin\frac{\pi x}{2}\right) = 3 \\ 3 + \log_3(x^2 - 6x + 10) = 3 \end{cases}$

Решим второе уравнение системы:

$\log_3(x^2 - 6x + 10) = 0$

По определению логарифма:

$x^2 - 6x + 10 = 3^0$

$x^2 - 6x + 10 = 1$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x - 3)^2 = 0$

Отсюда получаем единственный возможный корень: $x = 3$.

Теперь подставим найденное значение $x=3$ в первое уравнение системы $3\sin^2\left(\frac{\pi x}{2} \cdot \sin\frac{\pi x}{2}\right) = 3$, или $\sin^2\left(\frac{\pi x}{2} \cdot \sin\frac{\pi x}{2}\right) = 1$.

При $x=3$:

Аргумент синуса равен $\frac{\pi \cdot 3}{2} \cdot \sin\frac{\pi \cdot 3}{2} = \frac{3\pi}{2} \cdot \sin\frac{3\pi}{2}$.

Так как $\sin\frac{3\pi}{2} = -1$, то аргумент равен $\frac{3\pi}{2} \cdot (-1) = -\frac{3\pi}{2}$.

Подставляем в уравнение:

$\sin^2\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = \left(\sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right)\right)^2 = \left(-\sin\frac{3\pi}{2}\right)^2 = (-(-1))^2 = 1^2 = 1$.

Равенство выполняется. Значит, $x=3$ является корнем исходного уравнения.

Ответ: $3$.