Номер 13.24, страница 325 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств - номер 13.24, страница 325.

Условие.

Решите неравенство (13.24–13.26):

13.24* a) $\sqrt{x^2 + x + 1} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + x + 1}} \le 2 - \ln^2(x^2 + x + 1)$;

б) $\sqrt{x^2 - 3,5x + 3,5} + \frac{1}{\sqrt{x^2 - 3,5x + 3,5}} \le 2 - \sin^2\pi x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $ \sqrt{x^2 + x + 1} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + x + 1}} \le 2 - \ln^2(x^2 + x + 1) $

1. Найдем область определения неравенства. Выражение под корнем, а также аргумент логарифма, должны быть строго положительными: $ x^2 + x + 1 > 0 $.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $ y = x^2 + x + 1 $: $ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 $. Поскольку дискриминант отрицательный ($ D < 0 $) и старший коэффициент положителен ($ a=1>0 $), парабола целиком лежит выше оси абсцисс, то есть трехчлен $ x^2 + x + 1 $ положителен при любых действительных значениях $x$.

Следовательно, область определения неравенства — все действительные числа, $ x \in \mathbb{R} $.

2. Оценим левую и правую части неравенства. Этот тип неравенств часто решается методом оценки.

Рассмотрим левую часть (ЛЧ): $ f(x) = \sqrt{x^2 + x + 1} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + x + 1}} $.

Пусть $ y = \sqrt{x^2 + x + 1} $. Так как $ x^2 + x + 1 > 0 $, то $ y > 0 $. Левая часть принимает вид $ y + \frac{1}{y} $.

По неравенству о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши) для двух положительных чисел $a$ и $b$ верно, что $ a+b \ge 2\sqrt{ab} $. Для $ y $ и $ \frac{1}{y} $ получаем: $ y + \frac{1}{y} \ge 2\sqrt{y \cdot \frac{1}{y}} = 2 $.

Таким образом, левая часть неравенства всегда не меньше 2: $ \text{ЛЧ} \ge 2 $. Равенство достигается при $ y = 1 $, то есть $ \sqrt{x^2 + x + 1} = 1 $.

Рассмотрим правую часть (ПЧ): $ g(x) = 2 - \ln^2(x^2 + x + 1) $.

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, $ \ln^2(x^2 + x + 1) \ge 0 $.

Следовательно, $ -\ln^2(x^2 + x + 1) \le 0 $, и, прибавив 2 к обеим частям, получим $ 2 - \ln^2(x^2 + x + 1) \le 2 $.

Таким образом, правая часть неравенства всегда не больше 2: $ \text{ПЧ} \le 2 $. Равенство достигается, когда $ \ln^2(x^2 + x + 1) = 0 $, то есть $ \ln(x^2 + x + 1) = 0 $.

3. Сопоставим оценки левой и правой частей.

Исходное неравенство имеет вид $ \text{ЛЧ} \le \text{ПЧ} $. Учитывая, что $ \text{ЛЧ} \ge 2 $ и $ \text{ПЧ} \le 2 $, неравенство может выполняться только в том случае, когда обе части равны 2.

$ \text{ЛЧ} = \text{ПЧ} = 2 $

Это равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{x^2 + x + 1} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + x + 1}} = 2 \\ 2 - \ln^2(x^2 + x + 1) = 2 \end{cases} $

Оба равенства достигаются при одном и том же условии. Из первого уравнения следует $ \sqrt{x^2 + x + 1} = 1 $. Из второго следует $ \ln(x^2 + x + 1) = 0 $, что эквивалентно $ x^2 + x + 1 = e^0 = 1 $. Оба условия приводят к одному и тому же уравнению.

Решим уравнение $ x^2 + x + 1 = 1 $:

$ x^2 + x = 0 $

$ x(x + 1) = 0 $

Отсюда получаем два решения: $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = -1 $.

Эти значения и являются решениями исходного неравенства.

Ответ: $ \{-1, 0\} $.

---

б) $ \sqrt{x^2 - 3,5x + 3,5} + \frac{1}{\sqrt{x^2 - 3,5x + 3,5}} \le 2 - \sin^2(\pi x) $

1. Найдем область определения неравенства. Выражение под корнем должно быть строго положительным (так как оно также находится в знаменателе): $ x^2 - 3,5x + 3,5 > 0 $.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $ y = x^2 - 3,5x + 3,5 $: $ D = (-3,5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3,5 = 12,25 - 14 = -1,75 $. Поскольку $ D < 0 $ и старший коэффициент $ a=1>0 $, трехчлен $ x^2 - 3,5x + 3,5 $ положителен при всех $ x \in \mathbb{R} $.

Следовательно, область определения неравенства — все действительные числа.

2. Оценим левую и правую части неравенства.

Левая часть (ЛЧ): $ f(x) = \sqrt{x^2 - 3,5x + 3,5} + \frac{1}{\sqrt{x^2 - 3,5x + 3,5}} $.

Обозначим $ z = \sqrt{x^2 - 3,5x + 3,5} $. Так как подкоренное выражение всегда положительно, то $ z > 0 $. Левая часть имеет вид $ z + \frac{1}{z} $. По неравенству Коши, $ z + \frac{1}{z} \ge 2 $. Равенство достигается при $ z = 1 $.

Итак, $ \text{ЛЧ} \ge 2 $.

Правая часть (ПЧ): $ g(x) = 2 - \sin^2(\pi x) $.

Известно, что для любого действительного аргумента $ 0 \le \sin^2(\pi x) \le 1 $.

Умножая на -1, получаем $ -1 \le -\sin^2(\pi x) \le 0 $.

Прибавляя 2 ко всем частям, получаем $ 1 \le 2 - \sin^2(\pi x) \le 2 $.

Итак, $ \text{ПЧ} \le 2 $. Равенство достигается, когда $ \sin^2(\pi x) = 0 $.

3. Исходное неравенство $ \text{ЛЧ} \le \text{ПЧ} $ может выполняться только тогда, когда обе его части равны 2.

$ \text{ЛЧ} = 2 $ и $ \text{ПЧ} = 2 $.

Это приводит к системе уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{x^2 - 3,5x + 3,5} = 1 \\ \sin^2(\pi x) = 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:

$ \sqrt{x^2 - 3,5x + 3,5} = 1 $

Возведем обе части в квадрат:

$ x^2 - 3,5x + 3,5 = 1 $

$ x^2 - 3,5x + 2,5 = 0 $

Умножим на 2, чтобы работать с целыми коэффициентами:

$ 2x^2 - 7x + 5 = 0 $

Дискриминант: $ D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9 $.

Корни: $ x_1 = \frac{7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 3}{4} = 1 $; $ x_2 = \frac{7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = 2,5 $.

Решим второе уравнение системы:

$ \sin^2(\pi x) = 0 \implies \sin(\pi x) = 0 $

$ \pi x = k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ x = k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Таким образом, второе равенство выполняется, если $x$ — целое число.

4. Найдем общее решение системы. Из двух корней первого уравнения, $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 2,5 $, нужно выбрать те, которые удовлетворяют второму условию, то есть являются целыми числами.

Корень $ x = 1 $ является целым числом ($k=1$).

Корень $ x = 2,5 $ не является целым числом.

Следовательно, единственным решением исходного неравенства является $ x = 1 $.

Ответ: $ \{1\} $.