Номер 13.28, страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств - номер 13.28, страница 328.

Условие.

13.28 a) $\sqrt[3]{3x - 1} - \sqrt[4]{19 - x} = 0;$

б) $\sqrt[5]{9x + 5} - \sqrt[4]{25 - 3x} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Исходное уравнение: $ \sqrt[3]{3x - 1} - \sqrt[4]{19 - x} = 0 $.

Перенесем второй член в правую часть уравнения, чтобы уединить радикалы:

$ \sqrt[3]{3x - 1} = \sqrt[4]{19 - x} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение под корнем четвертой степени (корень четной степени) должно быть неотрицательным: $ 19 - x \ge 0 $, откуда $ x \le 19 $.
Так как корень четвертой степени в правой части является неотрицательным, то и левая часть уравнения должна быть неотрицательной: $ \sqrt[3]{3x - 1} \ge 0 $. Это означает, что подкоренное выражение кубического корня также должно быть неотрицательным: $ 3x - 1 \ge 0 $, откуда $ x \ge \frac{1}{3} $.
Объединяя условия, получаем ОДЗ для переменной $x$: $ \frac{1}{3} \le x \le 19 $.

Для решения уравнения введем замену. Пусть $ y = \sqrt[3]{3x - 1} = \sqrt[4]{19 - x} $. Из ОДЗ следует, что $ y \ge 0 $.

Выразим $x$ из каждого равенства через $y$:

$ y = \sqrt[3]{3x - 1} \implies y^3 = 3x - 1 \implies 3x = y^3 + 1 \implies x = \frac{y^3 + 1}{3} $

$ y = \sqrt[4]{19 - x} \implies y^4 = 19 - x \implies x = 19 - y^4 $

Теперь приравняем выражения для $x$:

$ \frac{y^3 + 1}{3} = 19 - y^4 $

Умножим обе части уравнения на 3:

$ y^3 + 1 = 3(19 - y^4) $

$ y^3 + 1 = 57 - 3y^4 $

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить полиномиальное уравнение:

$ 3y^4 + y^3 - 56 = 0 $

Попробуем найти его целые неотрицательные корни (так как $ y \ge 0 $). Целые корни должны быть делителями свободного члена, то есть числа -56. Проверим положительные делители: 1, 2, 4, 7, ...
Подставим $ y = 1 $: $ 3(1)^4 + (1)^3 - 56 = 3 + 1 - 56 = -52 \ne 0 $.
Подставим $ y = 2 $: $ 3(2)^4 + (2)^3 - 56 = 3 \cdot 16 + 8 - 56 = 48 + 8 - 56 = 0 $.
Значит, $ y = 2 $ является корнем уравнения.

Чтобы проверить, есть ли другие положительные корни, рассмотрим функцию $ f(y) = 3y^4 + y^3 - 56 $. Ее производная $ f'(y) = 12y^3 + 3y^2 = 3y^2(4y+1) $.
Для $ y > 0 $ производная $ f'(y) > 0 $, следовательно, функция $f(y)$ является строго возрастающей на промежутке $ (0, +\infty) $. Это означает, что уравнение $ f(y) = 0 $ может иметь не более одного положительного корня.
Таким образом, $ y = 2 $ — единственный положительный корень.

Теперь вернемся к переменной $x$. Используем одно из выражений, например, $ x = 19 - y^4 $.

$ x = 19 - (2)^4 = 19 - 16 = 3 $.

Проверим, принадлежит ли найденный корень $ x=3 $ области допустимых значений $ [\frac{1}{3}, 19] $. Да, $ \frac{1}{3} \le 3 \le 19 $, значит, корень подходит.

Выполним проверку, подставив $ x=3 $ в исходное уравнение:

$ \sqrt[3]{3 \cdot 3 - 1} - \sqrt[4]{19 - 3} = \sqrt[3]{8} - \sqrt[4]{16} = 2 - 2 = 0 $.

Равенство верное, значит корень найден правильно.

Ответ: $3$.

б)

Исходное уравнение: $ \sqrt[5]{9x + 5} - \sqrt[4]{25 - 3x} = 0 $.

Перенесем второй член в правую часть:

$ \sqrt[5]{9x + 5} = \sqrt[4]{25 - 3x} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение под корнем четвертой степени не может быть отрицательным: $ 25 - 3x \ge 0 $, что дает $ 25 \ge 3x $, или $ x \le \frac{25}{3} $.
Правая часть уравнения $ \sqrt[4]{25 - 3x} $ неотрицательна, следовательно, и левая часть $ \sqrt[5]{9x + 5} $ должна быть неотрицательной. Это выполняется, когда подкоренное выражение неотрицательно: $ 9x + 5 \ge 0 $, откуда $ 9x \ge -5 $, или $ x \ge -\frac{5}{9} $.
Таким образом, ОДЗ определяется неравенством: $ -\frac{5}{9} \le x \le \frac{25}{3} $.

Введем новую переменную $y$, положив $ y = \sqrt[5]{9x + 5} = \sqrt[4]{25 - 3x} $. Согласно ОДЗ, $ y \ge 0 $.

Выразим $x$ через $y$ из обоих равенств:

$ y = \sqrt[5]{9x + 5} \implies y^5 = 9x + 5 \implies 9x = y^5 - 5 \implies x = \frac{y^5 - 5}{9} $

$ y = \sqrt[4]{25 - 3x} \implies y^4 = 25 - 3x \implies 3x = 25 - y^4 \implies x = \frac{25 - y^4}{3} $

Приравняем полученные выражения для $x$:

$ \frac{y^5 - 5}{9} = \frac{25 - y^4}{3} $

Для избавления от знаменателей умножим обе части на 9:

$ y^5 - 5 = 3(25 - y^4) $

$ y^5 - 5 = 75 - 3y^4 $

Соберем все члены в левой части:

$ y^5 + 3y^4 - 80 = 0 $

Мы получили уравнение пятой степени. Попробуем найти его неотрицательные целые корни, которые должны быть делителями числа 80. Проверим $ y=1, y=2, ... $
При $ y = 1 $: $ 1^5 + 3 \cdot 1^4 - 80 = 1 + 3 - 80 = -76 \ne 0 $.
При $ y = 2 $: $ 2^5 + 3 \cdot 2^4 - 80 = 32 + 3 \cdot 16 - 80 = 32 + 48 - 80 = 0 $.
Следовательно, $ y = 2 $ является корнем уравнения.

Чтобы убедиться, что это единственный положительный корень, рассмотрим функцию $ g(y) = y^5 + 3y^4 - 80 $. Найдем ее производную: $ g'(y) = 5y^4 + 12y^3 = y^3(5y + 12) $.
При $ y > 0 $ производная $ g'(y) > 0 $, значит, функция $g(y)$ строго возрастает для всех положительных $y$. Это означает, что она может пересекать ось абсцисс только в одной точке при $ y > 0 $.
Значит, $ y=2 $ — это единственный положительный корень.

Теперь найдем $x$, выполнив обратную замену, например, $ x = \frac{25 - y^4}{3} $:

$ x = \frac{25 - 2^4}{3} = \frac{25 - 16}{3} = \frac{9}{3} = 3 $.

Проверим, что найденное значение $ x=3 $ входит в ОДЗ: $ -\frac{5}{9} \le 3 \le \frac{25}{3} $. Неравенство верное ($ -0.55... \le 3 \le 8.33... $).

Наконец, сделаем проверку подстановкой $ x=3 $ в исходное уравнение:

$ \sqrt[5]{9 \cdot 3 + 5} - \sqrt[4]{25 - 3 \cdot 3} = \sqrt[5]{27 + 5} - \sqrt[4]{25 - 9} = \sqrt[5]{32} - \sqrt[4]{16} = 2 - 2 = 0 $.

Равенство выполняется, следовательно, решение найдено верно.

Ответ: $3$.