Номер 13.33, страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств - номер 13.33, страница 328.

Условие.

13.33 a) $3x^5 + 10x^3 + 15x + \lg x - 28 > 0$;

б) $x^5 + x^3 + 10x + \log_2 x - 61 > 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $3x^5 + 10x^3 + 15x + \lg x - 28 > 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом анализа функций.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Из-за наличия логарифма $\lg x$ (десятичный логарифм), аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.

2. Введем функцию $f(x) = 3x^5 + 10x^3 + 15x + \lg x - 28$. Нам нужно решить неравенство $f(x) > 0$.

3. Исследуем функцию на монотонность. Для этого найдем ее производную:

$f'(x) = (3x^5 + 10x^3 + 15x + \lg x - 28)' = 15x^4 + 30x^2 + 15 + \frac{1}{x \ln 10}$.

4. Проанализируем знак производной на ОДЗ ($x > 0$).

При $x > 0$ все слагаемые в выражении для производной положительны:

$15x^4 > 0$, $30x^2 > 0$, $15 > 0$, и $\frac{1}{x \ln 10} > 0$.

Сумма положительных слагаемых всегда положительна, следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x$ из области определения.

Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения $(0; +\infty)$.

5. Поскольку функция строго возрастает, уравнение $f(x) = 0$ может иметь не более одного корня. Попробуем найти этот корень методом подбора. Проверим целые значения $x$.

Подставим $x = 1$:

$f(1) = 3 \cdot 1^5 + 10 \cdot 1^3 + 15 \cdot 1 + \lg 1 - 28 = 3 + 10 + 15 + 0 - 28 = 28 - 28 = 0$.

Таким образом, $x = 1$ является единственным корнем уравнения $f(x) = 0$.

6. Так как функция $f(x)$ строго возрастает и обращается в ноль при $x = 1$, то для всех $x > 1$ будет выполняться неравенство $f(x) > f(1)$, то есть $f(x) > 0$. А для $0 < x < 1$ будет $f(x) < f(1)$, то есть $f(x) < 0$.

Следовательно, решением исходного неравенства $3x^5 + 10x^3 + 15x + \lg x - 28 > 0$ является промежуток $x > 1$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

б) $x^5 + x^3 + 10x + \log_2 x - 61 > 0$

Решим это неравенство аналогичным методом.

1. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x > 0$ из-за наличия $\log_2 x$.

2. Введем функцию $g(x) = x^5 + x^3 + 10x + \log_2 x - 61$ и решим неравенство $g(x) > 0$.

3. Исследуем функцию на монотонность. Функция $g(x)$ представляет собой сумму нескольких функций: $y_1(x) = x^5$, $y_2(x) = x^3$, $y_3(x) = 10x$ и $y_4(x) = \log_2 x$. Каждая из этих функций является строго возрастающей на промежутке $(0; +\infty)$. Сумма строго возрастающих функций также является строго возрастающей функцией.

Можно также найти производную:

$g'(x) = (x^5 + x^3 + 10x + \log_2 x - 61)' = 5x^4 + 3x^2 + 10 + \frac{1}{x \ln 2}$.

4. На ОДЗ ($x>0$) все слагаемые производной положительны: $5x^4 > 0$, $3x^2 > 0$, $10 > 0$, $\frac{1}{x \ln 2} > 0$. Значит, $g'(x) > 0$ для всех $x > 0$.

Следовательно, функция $g(x)$ строго возрастает на $(0; +\infty)$.

5. Найдем корень уравнения $g(x) = 0$ методом подбора. Наличие $\log_2 x$ подсказывает, что стоит проверить значения $x$, являющиеся степенями двойки.

Подставим $x = 2$:

$g(2) = 2^5 + 2^3 + 10 \cdot 2 + \log_2 2 - 61 = 32 + 8 + 20 + 1 - 61 = 61 - 61 = 0$.

Значит, $x = 2$ – единственный корень уравнения $g(x)=0$.

6. Поскольку функция $g(x)$ строго возрастающая и $g(2) = 0$, то при $x > 2$ будет выполняться $g(x) > g(2)$, то есть $g(x) > 0$. При $0 < x < 2$ будет $g(x) < g(2)$, то есть $g(x) < 0$.

Решением неравенства $x^5 + x^3 + 10x + \log_2 x - 61 > 0$ является промежуток $x > 2$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.