Номер 13.33, страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 13.33, страница 328.
№13.33 (с. 328)
Условие. №13.33 (с. 328)
скриншот условия

13.33 a) $3x^5 + 10x^3 + 15x + \lg x - 28 > 0$;
б) $x^5 + x^3 + 10x + \log_2 x - 61 > 0$.
Решение 1. №13.33 (с. 328)


Решение 2. №13.33 (с. 328)

Решение 4. №13.33 (с. 328)
а) $3x^5 + 10x^3 + 15x + \lg x - 28 > 0$
Для решения этого неравенства воспользуемся методом анализа функций.
1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Из-за наличия логарифма $\lg x$ (десятичный логарифм), аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.
2. Введем функцию $f(x) = 3x^5 + 10x^3 + 15x + \lg x - 28$. Нам нужно решить неравенство $f(x) > 0$.
3. Исследуем функцию на монотонность. Для этого найдем ее производную:
$f'(x) = (3x^5 + 10x^3 + 15x + \lg x - 28)' = 15x^4 + 30x^2 + 15 + \frac{1}{x \ln 10}$.
4. Проанализируем знак производной на ОДЗ ($x > 0$).
При $x > 0$ все слагаемые в выражении для производной положительны:
$15x^4 > 0$, $30x^2 > 0$, $15 > 0$, и $\frac{1}{x \ln 10} > 0$.
Сумма положительных слагаемых всегда положительна, следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x$ из области определения.
Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения $(0; +\infty)$.
5. Поскольку функция строго возрастает, уравнение $f(x) = 0$ может иметь не более одного корня. Попробуем найти этот корень методом подбора. Проверим целые значения $x$.
Подставим $x = 1$:
$f(1) = 3 \cdot 1^5 + 10 \cdot 1^3 + 15 \cdot 1 + \lg 1 - 28 = 3 + 10 + 15 + 0 - 28 = 28 - 28 = 0$.
Таким образом, $x = 1$ является единственным корнем уравнения $f(x) = 0$.
6. Так как функция $f(x)$ строго возрастает и обращается в ноль при $x = 1$, то для всех $x > 1$ будет выполняться неравенство $f(x) > f(1)$, то есть $f(x) > 0$. А для $0 < x < 1$ будет $f(x) < f(1)$, то есть $f(x) < 0$.
Следовательно, решением исходного неравенства $3x^5 + 10x^3 + 15x + \lg x - 28 > 0$ является промежуток $x > 1$.
Ответ: $x \in (1; +\infty)$.
б) $x^5 + x^3 + 10x + \log_2 x - 61 > 0$
Решим это неравенство аналогичным методом.
1. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x > 0$ из-за наличия $\log_2 x$.
2. Введем функцию $g(x) = x^5 + x^3 + 10x + \log_2 x - 61$ и решим неравенство $g(x) > 0$.
3. Исследуем функцию на монотонность. Функция $g(x)$ представляет собой сумму нескольких функций: $y_1(x) = x^5$, $y_2(x) = x^3$, $y_3(x) = 10x$ и $y_4(x) = \log_2 x$. Каждая из этих функций является строго возрастающей на промежутке $(0; +\infty)$. Сумма строго возрастающих функций также является строго возрастающей функцией.
Можно также найти производную:
$g'(x) = (x^5 + x^3 + 10x + \log_2 x - 61)' = 5x^4 + 3x^2 + 10 + \frac{1}{x \ln 2}$.
4. На ОДЗ ($x>0$) все слагаемые производной положительны: $5x^4 > 0$, $3x^2 > 0$, $10 > 0$, $\frac{1}{x \ln 2} > 0$. Значит, $g'(x) > 0$ для всех $x > 0$.
Следовательно, функция $g(x)$ строго возрастает на $(0; +\infty)$.
5. Найдем корень уравнения $g(x) = 0$ методом подбора. Наличие $\log_2 x$ подсказывает, что стоит проверить значения $x$, являющиеся степенями двойки.
Подставим $x = 2$:
$g(2) = 2^5 + 2^3 + 10 \cdot 2 + \log_2 2 - 61 = 32 + 8 + 20 + 1 - 61 = 61 - 61 = 0$.
Значит, $x = 2$ – единственный корень уравнения $g(x)=0$.
6. Поскольку функция $g(x)$ строго возрастающая и $g(2) = 0$, то при $x > 2$ будет выполняться $g(x) > g(2)$, то есть $g(x) > 0$. При $0 < x < 2$ будет $g(x) < g(2)$, то есть $g(x) < 0$.
Решением неравенства $x^5 + x^3 + 10x + \log_2 x - 61 > 0$ является промежуток $x > 2$.
Ответ: $x \in (2; +\infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 13.33 расположенного на странице 328 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №13.33 (с. 328), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.