Номер 13.30, страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 13.30, страница 328.

Условие.

13.30 а) $x^5 + x^3 + 1 - \sqrt{10 - x} = 0;$

б) $x^5 + x^3 - 37 - \sqrt{25 - 8x} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $x^5 + x^3 + 1 - \sqrt{10 - x} = 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $10 - x \ge 0$, откуда следует $x \le 10$.

Перепишем уравнение в виде равенства двух функций: $x^5 + x^3 + 1 = \sqrt{10 - x}$.

Рассмотрим две функции: $f(x) = x^5 + x^3 + 1$ и $g(x) = \sqrt{10 - x}$.

Исследуем функцию $f(x)$ на монотонность. Найдем ее производную: $f'(x) = (x^5 + x^3 + 1)' = 5x^4 + 3x^2$. Поскольку $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$ для любых действительных $x$, то $f'(x) = 5x^4 + 3x^2 \ge 0$. Производная равна нулю только при $x=0$. Следовательно, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой, включая ОДЗ ($x \le 10$).

Исследуем функцию $g(x)$ на монотонность на ее области определения ($x \le 10$). Найдем ее производную: $g'(x) = (\sqrt{10 - x})' = \frac{1}{2\sqrt{10-x}} \cdot (10-x)' = -\frac{1}{2\sqrt{10-x}}$. На интервале $(-\infty, 10)$ знаменатель $2\sqrt{10-x}$ положителен, значит $g'(x) < 0$. Следовательно, функция $g(x)$ является строго убывающей на своей области определения.

Так как функция $f(x)$ строго возрастает, а функция $g(x)$ строго убывает, уравнение $f(x) = g(x)$ может иметь не более одного корня.

Попробуем найти этот корень методом подбора, проверяя небольшие целые значения $x$, удовлетворяющие ОДЗ. Пусть $x=1$: Левая часть: $f(1) = 1^5 + 1^3 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$. Правая часть: $g(1) = \sqrt{10 - 1} = \sqrt{9} = 3$. Поскольку $f(1) = g(1)$, $x=1$ является корнем уравнения.

Так как мы доказали, что уравнение имеет не более одного корня, найденное значение $x=1$ является единственным решением.

Ответ: $1$

б) $x^5 + x^3 - 37 - \sqrt{25 - 8x} = 0$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $25 - 8x \ge 0 \implies 8x \le 25 \implies x \le \frac{25}{8}$ или $x \le 3.125$.

Перепишем уравнение, разделив его на две функции: $x^5 + x^3 - 37 = \sqrt{25 - 8x}$.

Рассмотрим функции: $f(x) = x^5 + x^3 - 37$ и $g(x) = \sqrt{25 - 8x}$.

Исследуем функцию $f(x)$ на монотонность. Ее производная: $f'(x) = (x^5 + x^3 - 37)' = 5x^4 + 3x^2$. Как и в предыдущем пункте, $f'(x) \ge 0$ для всех $x$, и $f'(x)=0$ только при $x=0$. Следовательно, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой, включая ОДЗ ($x \le 25/8$).

Исследуем функцию $g(x)$ на монотонность на ее области определения ($x \le 25/8$). Найдем ее производную: $g'(x) = (\sqrt{25 - 8x})' = \frac{1}{2\sqrt{25-8x}} \cdot (25-8x)' = \frac{-8}{2\sqrt{25-8x}} = -\frac{4}{\sqrt{25-8x}}$. На интервале $(-\infty, 25/8)$ знаменатель $\sqrt{25-8x}$ положителен, значит $g'(x) < 0$. Следовательно, функция $g(x)$ является строго убывающей на своей области определения.

Уравнение $f(x) = g(x)$ представляет собой равенство строго возрастающей и строго убывающей функций, поэтому оно может иметь не более одного корня.

Найдем корень методом подбора, проверяя целые значения $x$ из ОДЗ ($x \le 3.125$). Пусть $x=2$: Левая часть: $f(2) = 2^5 + 2^3 - 37 = 32 + 8 - 37 = 40 - 37 = 3$. Правая часть: $g(2) = \sqrt{25 - 8 \cdot 2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$. Получили верное равенство $3=3$, значит $x=2$ является корнем уравнения.

Поскольку корень может быть только один, $x=2$ является единственным решением.

Ответ: $2$