Номер 13.27, страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств - номер 13.27, страница 328.

Условие.

Решите уравнение (13.27–13.31):

13.27 а) $log_2 x = 1 - x;$

б) $log_3 x = 4 - x;$

в) $log_{0,5} x = x - 3;$

г) $log_{0,3} x = x - 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Дано уравнение $\log_2 x = 1 - x$. Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения определяется условием $x > 0$. Рассмотрим две функции: $f(x) = \log_2 x$ и $g(x) = 1 - x$. Функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения, так как это логарифмическая функция с основанием $2 > 1$. Функция $g(x)$ является строго убывающей, поскольку это линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом ($-1$). Так как одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Найдем корень подбором. При $x = 1$ левая часть уравнения равна $\log_2 1 = 0$, а правая часть равна $1 - 1 = 0$. Поскольку левая и правая части равны, $x = 1$ является корнем уравнения. В силу того, что решение единственное, это и есть ответ.

Ответ: 1.

б) Дано уравнение $\log_3 x = 4 - x$. ОДЗ уравнения: $x > 0$. Рассмотрим функции $f(x) = \log_3 x$ и $g(x) = 4 - x$. Функция $f(x)$ является строго возрастающей (основание логарифма $3 > 1$). Функция $g(x)$ является строго убывающей (линейная функция с коэффициентом $-1$). Следовательно, уравнение может иметь не более одного решения. Методом подбора найдем корень. Проверим $x = 3$. Левая часть: $\log_3 3 = 1$. Правая часть: $4 - 3 = 1$. Так как $1 = 1$, $x = 3$ является решением уравнения. Это единственное решение.

Ответ: 3.

в) Дано уравнение $\log_{0,5} x = x - 3$. ОДЗ уравнения: $x > 0$. Рассмотрим функции $f(x) = \log_{0,5} x$ и $g(x) = x - 3$. Функция $f(x)$ является строго убывающей, так как основание логарифма $0,5$ находится в интервале $(0; 1)$. Функция $g(x)$ является строго возрастающей, так как это линейная функция с положительным угловым коэффициентом ($1$). Поскольку одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, уравнение имеет не более одного корня. Подберем корень. Проверим $x=2$. Левая часть: $\log_{0,5} 2 = \log_{1/2} 2 = -1$. Правая часть: $2 - 3 = -1$. Так как $-1 = -1$, $x = 2$ является корнем уравнения. Этот корень является единственным.

Ответ: 2.

г) Дано уравнение $\log_{0,3} x = x - 1$. ОДЗ уравнения: $x > 0$. Рассмотрим функции $f(x) = \log_{0,3} x$ и $g(x) = x - 1$. Функция $f(x)$ является строго убывающей (основание $0,3 < 1$). Функция $g(x)$ является строго возрастающей (линейная функция с коэффициентом $1$). Таким образом, уравнение может иметь не более одного решения. Найдем это решение подбором. Проверим $x = 1$. Левая часть: $\log_{0,3} 1 = 0$. Правая часть: $1 - 1 = 0$. Равенство $0=0$ выполняется, значит $x = 1$ — корень уравнения. Так как решение единственное, других корней нет.

Ответ: 1.