Номер 13.9, страница 319 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств - номер 13.9, страница 319.

Условие.

13.9 a) $\log_2(x^2 + 2x + 2) + \log_3(x^6 + 2x^5 + x^4 + 1) = 0;$

б) $\log_4(x^2 + 4x + 5) + \log_5(x^6 + 4x^5 + 4x^4 + 1) = 0;$

в) $\log_6(x^2 + 6x + 10) + \log_7^2(\sqrt[3]{x + 2} + 2) = 0;$

г) $\log_8(x^2 + 8x + 17) + \log_9^2(\sqrt[5]{x - 28} + 3) = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $ \log_{2}(x^2 + 2x + 2) + \log_{3}(x^6 + 2x^5 + x^4 + 1) = 0 $

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.

1. Первое слагаемое: $ \log_{2}(x^2 + 2x + 2) $. Выделим полный квадрат в аргументе логарифма:
$ x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2x + 1) + 1 = (x + 1)^2 + 1 $.
Поскольку $ (x + 1)^2 \ge 0 $ для любого действительного $ x $, то $ (x + 1)^2 + 1 \ge 1 $.
Так как основание логарифма $ 2 > 1 $, логарифмическая функция является возрастающей. Следовательно:
$ \log_{2}(x^2 + 2x + 2) = \log_{2}((x + 1)^2 + 1) \ge \log_{2}(1) = 0 $.
Таким образом, первое слагаемое всегда неотрицательно.

2. Второе слагаемое: $ \log_{3}(x^6 + 2x^5 + x^4 + 1) $. Преобразуем аргумент логарифма:
$ x^6 + 2x^5 + x^4 + 1 = x^4(x^2 + 2x + 1) + 1 = x^4(x + 1)^2 + 1 $.
Поскольку $ x^4 \ge 0 $ и $ (x + 1)^2 \ge 0 $, их произведение $ x^4(x + 1)^2 \ge 0 $. Значит, $ x^4(x + 1)^2 + 1 \ge 1 $.
Так как основание логарифма $ 3 > 1 $, то:
$ \log_{3}(x^6 + 2x^5 + x^4 + 1) = \log_{3}(x^4(x + 1)^2 + 1) \ge \log_{3}(1) = 0 $.
Таким образом, второе слагаемое также всегда неотрицательно.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Получаем систему уравнений:$ \begin{cases} \log_{2}(x^2 + 2x + 2) = 0 \\ \log_{3}(x^6 + 2x^5 + x^4 + 1) = 0 \end{cases} $

Решаем первое уравнение:
$ x^2 + 2x + 2 = 2^0 = 1 $
$ x^2 + 2x + 1 = 0 $
$ (x + 1)^2 = 0 $
$ x = -1 $

Решаем второе уравнение:
$ x^6 + 2x^5 + x^4 + 1 = 3^0 = 1 $
$ x^6 + 2x^5 + x^4 = 0 $
$ x^4(x^2 + 2x + 1) = 0 $
$ x^4(x + 1)^2 = 0 $
$ x = 0 $ или $ x = -1 $

Общим решением системы является $ x = -1 $. Область допустимых значений для обоих логарифмов ($ \text{аргумент} > 0 $) выполняется, так как мы показали, что аргументы не меньше 1.
Ответ: -1

б) $ \log_{4}(x^2 + 4x + 5) + \log_{5}(x^6 + 4x^5 + 4x^4 + 1) = 0 $

Действуем аналогично пункту а).

1. Первое слагаемое: $ \log_{4}(x^2 + 4x + 5) $. Аргумент: $ x^2 + 4x + 5 = (x^2 + 4x + 4) + 1 = (x + 2)^2 + 1 \ge 1 $.
Так как основание $ 4 > 1 $, то $ \log_{4}(x^2 + 4x + 5) \ge \log_{4}(1) = 0 $.

2. Второе слагаемое: $ \log_{5}(x^6 + 4x^5 + 4x^4 + 1) $. Аргумент: $ x^6 + 4x^5 + 4x^4 + 1 = x^4(x^2 + 4x + 4) + 1 = x^4(x + 2)^2 + 1 \ge 1 $.
Так как основание $ 5 > 1 $, то $ \log_{5}(x^6 + 4x^5 + 4x^4 + 1) \ge \log_{5}(1) = 0 $.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю, если каждое равно нулю.$ \begin{cases} \log_{4}(x^2 + 4x + 5) = 0 \\ \log_{5}(x^6 + 4x^5 + 4x^4 + 1) = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения:
$ x^2 + 4x + 5 = 4^0 = 1 $
$ x^2 + 4x + 4 = 0 $
$ (x + 2)^2 = 0 $
$ x = -2 $

Из второго уравнения:
$ x^6 + 4x^5 + 4x^4 + 1 = 5^0 = 1 $
$ x^4(x + 2)^2 = 0 $
$ x = 0 $ или $ x = -2 $

Общее решение системы: $ x = -2 $.
Ответ: -2

в) $ \log_{6}(x^2 + 6x + 10) + \log_{7}^2(\sqrt[3]{x + 2} + 2) = 0 $

1. Первое слагаемое: $ \log_{6}(x^2 + 6x + 10) $. Аргумент: $ x^2 + 6x + 10 = (x^2 + 6x + 9) + 1 = (x + 3)^2 + 1 \ge 1 $.
Так как основание $ 6 > 1 $, то $ \log_{6}(x^2 + 6x + 10) \ge \log_{6}(1) = 0 $.

2. Второе слагаемое: $ \log_{7}^2(\sqrt[3]{x + 2} + 2) $. Это квадрат величины $ \log_{7}(\sqrt[3]{x + 2} + 2) $, поэтому это слагаемое всегда неотрицательно: $ \log_{7}^2(\dots) \ge 0 $.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю, если каждое равно нулю.
$ \begin{cases} \log_{6}(x^2 + 6x + 10) = 0 \\ \log_{7}^2(\sqrt[3]{x + 2} + 2) = 0 \end{cases} $

Решаем первое уравнение:
$ x^2 + 6x + 10 = 6^0 = 1 $
$ x^2 + 6x + 9 = 0 $
$ (x + 3)^2 = 0 $
$ x = -3 $

Решаем второе уравнение:
$ \log_{7}(\sqrt[3]{x + 2} + 2) = 0 $
$ \sqrt[3]{x + 2} + 2 = 7^0 = 1 $
$ \sqrt[3]{x + 2} = -1 $
$ x + 2 = (-1)^3 = -1 $
$ x = -3 $

Оба уравнения дают $ x = -3 $. Проверим ОДЗ для второго логарифма: $ \sqrt[3]{x + 2} + 2 > 0 $. При $ x = -3 $: $ \sqrt[3]{-3 + 2} + 2 = \sqrt[3]{-1} + 2 = -1 + 2 = 1 > 0 $. Условие выполнено.
Ответ: -3

г) $ \log_{8}(x^2 + 8x + 17) + \log_{9}^2(\sqrt[5]{x - 28} + 3) = 0 $

1. Первое слагаемое: $ \log_{8}(x^2 + 8x + 17) $. Аргумент: $ x^2 + 8x + 17 = (x^2 + 8x + 16) + 1 = (x + 4)^2 + 1 \ge 1 $.
Так как основание $ 8 > 1 $, то $ \log_{8}(x^2 + 8x + 17) \ge \log_{8}(1) = 0 $.

2. Второе слагаемое: $ \log_{9}^2(\sqrt[5]{x - 28} + 3) $. Это квадрат действительного числа, поэтому слагаемое всегда неотрицательно: $ \log_{9}^2(\dots) \ge 0 $.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю, если каждое равно нулю.
$ \begin{cases} \log_{8}(x^2 + 8x + 17) = 0 \\ \log_{9}^2(\sqrt[5]{x - 28} + 3) = 0 \end{cases} $

Решаем первое уравнение:
$ x^2 + 8x + 17 = 8^0 = 1 $
$ x^2 + 8x + 16 = 0 $
$ (x + 4)^2 = 0 $
$ x = -4 $

Решаем второе уравнение:
$ \log_{9}(\sqrt[5]{x - 28} + 3) = 0 $
$ \sqrt[5]{x - 28} + 3 = 9^0 = 1 $
$ \sqrt[5]{x - 28} = -2 $
$ x - 28 = (-2)^5 = -32 $
$ x = -32 + 28 = -4 $

Оба уравнения дают $ x = -4 $. Проверим ОДЗ для второго логарифма: $ \sqrt[5]{x - 28} + 3 > 0 $. При $ x = -4 $: $ \sqrt[5]{-4 - 28} + 3 = \sqrt[5]{-32} + 3 = -2 + 3 = 1 > 0 $. Условие выполнено.
Ответ: -4