Номер 14.18, страница 342 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 14.18, страница 342.

Условие.

14.18 a) Объясните, какие преобразования уравнений системы приводят к системе-следствию.

б) Почему после перехода к системе-следствию необходима проверка всех решений, полученных при решении системы-следствия?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a) Объясните, какие преобразования уравнений системы приводят к системе-следствию.

Система-следствие — это система, множество решений которой содержит все решения исходной системы. Она получается из исходной системы в результате неравносильных преобразований, которые могут приводить к появлению посторонних (лишних) решений. Основные такие преобразования:

• Возведение обеих частей уравнения в чётную степень. При переходе от уравнения $f(x) = g(x)$ к уравнению $(f(x))^{2n} = (g(x))^{2n}$ (где $n \in \mathbb{N}$), мы получаем уравнение-следствие. Это происходит потому, что из $(f(x))^{2n} = (g(x))^{2n}$ следует $f(x) = g(x)$ или $f(x) = -g(x)$. Второе равенство может дать посторонние корни. Например, уравнение $\sqrt{x} = x-2$ после возведения в квадрат превращается в $x = (x-2)^2$, что равносильно $x^2 - 5x + 4 = 0$. Корни этого уравнения $x_1=1$ и $x_2=4$. Однако $x=1$ является посторонним корнем для исходного уравнения.

• Умножение или деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменные. Умножение уравнения $f(x) = g(x)$ на выражение $h(x)$ приводит к уравнению-следствию $f(x)h(x) = g(x)h(x)$. Корни уравнения $h(x)=0$ могут стать посторонними решениями для новой системы.

• Освобождение от знаменателя. Переход от уравнения вида $\frac{f(x)}{g(x)} = 0$ к уравнению-следствию $f(x) = 0$ без учёта условия $g(x) \neq 0$ может добавить корни, которые обращают знаменатель в ноль и, следовательно, не входят в область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения.

• Потенцирование. При решении логарифмических уравнений, переход от $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ к $f(x) = g(x)$ является переходом к следствию, так как при этом могут быть не учтены условия ОДЗ: $f(x)>0$ и $g(x)>0$.

• Замена уравнения в системе его следствием. Если хотя бы одно уравнение системы заменяется на свое следствие, то и вся новая система является следствием исходной.

Ответ: К системе-следствию приводят неравносильные преобразования, такие как возведение обеих частей уравнения в чётную степень, умножение на выражение с переменной, избавление от знаменателя без учёта ОДЗ, потенцирование логарифмических уравнений и замена одного из уравнений системы его следствием.

б) Почему после перехода к системе-следствию необходима проверка всех решений, полученных при решении системы-следствия?

Переход к системе-следствию — это применение неравносильных преобразований, которые могут расширить множество решений. Если $M_{исх}$ — множество решений исходной системы, а $M_{след}$ — множество решений системы-следствия, то справедливо включение $M_{исх} \subseteq M_{след}$. Это означает, что каждое решение исходной системы гарантированно будет решением системы-следствия, но система-следствие может иметь дополнительные решения, которые не подходят для исходной системы. Эти решения называются посторонними корнями.

Появление посторонних корней — это плата за упрощение уравнений системы. Например, чтобы избавиться от иррациональности в уравнении $\sqrt{x+2} = x$, мы возводим обе части в квадрат. Получаем уравнение-следствие $x+2 = x^2$, или $x^2-x-2=0$. Его корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Теперь необходимо выполнить проверку, подставив найденные корни в исходное уравнение:

• Проверка для $x=2$: $\sqrt{2+2} = 2 \implies \sqrt{4} = 2 \implies 2=2$. Равенство верное, значит, $x=2$ — это корень исходного уравнения.

• Проверка для $x=-1$: $\sqrt{-1+2} = -1 \implies \sqrt{1} = -1 \implies 1=-1$. Равенство неверное, значит, $x=-1$ — это посторонний корень, появившийся из-за возведения в квадрат.

Без проверки мы бы ошибочно включили $x=-1$ в ответ. Следовательно, проверка всех решений, полученных при решении системы-следствия, является обязательным этапом решения. Она позволяет отфильтровать посторонние корни и найти точное множество решений исходной системы.

Ответ: Проверка необходима для того, чтобы отсеять посторонние корни, которые могут появиться в результате неравносильных преобразований при переходе к системе-следствию. Так как множество решений системы-следствия может быть шире множества решений исходной системы, проверка позволяет выявить только истинные решения.