Номер 14.19, страница 342 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 14.19, страница 342.

Условие.

14.19 Является ли вторая система следствием первой системы:

а) $\begin{cases} x^2 + 2y + \lg x = 5 + \lg x \\ x + y = 1 \end{cases}$ и $\begin{cases} x^2 + 2y = 5 \\ x + y = 1 \end{cases};$

б) $\begin{cases} \sqrt{x+1} = y - x \\ 2xy - y^2 = 55 \end{cases}$ и $\begin{cases} x+1 = y^2 - 2xy + x^2 \\ 2xy - y^2 = 55 \end{cases};$

в) $\begin{cases} \frac{\sqrt{x}}{y} + \frac{\sqrt{y}}{x} = \frac{35}{36} \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = y - x \end{cases}$ и $\begin{cases} x\sqrt{x} + y\sqrt{y} = \frac{35}{36} xy \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = y - x \end{cases};$

г) $\begin{cases} \log_2 (x + 2y) = \log_2 (2x + y) \\ x^2 - y - 2 = 0 \end{cases}$ и $\begin{cases} x + 2y = 2x + y \\ x^2 - y - 2 = 0 \end{cases};$

д)* $\begin{cases} \log_7 (x + y) + \log_7 (x - y) = 1 \\ \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{7}{12} \end{cases}$ и $\begin{cases} \log_7 ((x + y)(x - y)) = 1 \\ \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{7}{12} \end{cases}?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Сравним две системы:
Первая система: $ \begin{cases} x^2 + 2y + \lg x = 5 + \lg x \\ x + y = 1 \end{cases} $
Вторая система: $ \begin{cases} x^2 + 2y = 5 \\ x + y = 1 \end{cases} $
Вторая система получается из первой путем преобразования первого уравнения. Если в уравнении $x^2 + 2y + \lg x = 5 + \lg x$ вычесть из обеих частей $ \lg x $, то получится уравнение $ x^2 + 2y = 5 $. Второе уравнение в системах идентично.
Такое преобразование является верным для любой пары $ (x, y) $, которая является решением первой системы. Однако, первая система имеет область допустимых значений (ОДЗ), связанную с наличием логарифма: $ x > 0 $. Вторая система таких ограничений не имеет.
Пусть $ (x_0, y_0) $ — любое решение первой системы. Это означает, что $ x_0^2 + 2y_0 + \lg x_0 = 5 + \lg x_0 $, $ x_0 + y_0 = 1 $ и $ x_0 > 0 $. Из первого равенства следует, что $ x_0^2 + 2y_0 = 5 $. Таким образом, пара $ (x_0, y_0) $ удовлетворяет и второму уравнению $ x_0 + y_0 = 1 $. Следовательно, любое решение первой системы является решением второй.
Это означает, что вторая система является следствием первой. При этом преобразование не является равносильным, так как ОДЗ второй системы шире, и она может иметь дополнительные решения. Например, решением второй системы является пара $ (-1, 2) $, которая не входит в ОДЗ первой системы.
Ответ: Да, является.

б) Сравним две системы:
Первая система: $ \begin{cases} \sqrt{x + 1} = y - x \\ 2xy - y^2 = 55 \end{cases} $
Вторая система: $ \begin{cases} x + 1 = y^2 - 2xy + x^2 \\ 2xy - y^2 = 55 \end{cases} $
Первое уравнение второй системы получается путем возведения в квадрат обеих частей первого уравнения первой системы: $ (\sqrt{x + 1})^2 = (y - x)^2 $, что дает $ x + 1 = y^2 - 2xy + x^2 $. Второе уравнение в системах совпадает.
Возведение в квадрат является преобразованием-следствием. То есть, если $ A = B $, то $ A^2 = B^2 $, но обратное не всегда верно (из $ A^2 = B^2 $ следует $ A=B $ или $ A=-B $).
Первая система имеет ОДЗ: $ x + 1 \ge 0 $ (подкоренное выражение) и $ y - x \ge 0 $ (правая часть, равная значению арифметического корня, не может быть отрицательной). То есть $ x \ge -1 $ и $ y \ge x $.
Любое решение $ (x_0, y_0) $ первой системы удовлетворяет уравнению $ \sqrt{x_0 + 1} = y_0 - x_0 $. Возведя это верное равенство в квадрат, мы получим верное равенство $ x_0 + 1 = (y_0 - x_0)^2 $, что является первым уравнением второй системы. Второе уравнение также будет выполнено. Следовательно, любое решение первой системы является решением второй.
Таким образом, вторая система является следствием первой. Преобразование не равносильно, так как у второй системы могут быть решения, для которых $ y - x < 0 $. Например, пара $ (8, 5) $ является решением второй системы, но для нее $ y-x = 5-8 = -3 < 0 $, поэтому она не является решением первой.
Ответ: Да, является.

в) Сравним две системы:
Первая система: $ \begin{cases} \frac{\sqrt{x}}{y} + \frac{\sqrt{y}}{x} = \frac{35}{36} \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = y - x \end{cases} $
Вторая система: $ \begin{cases} x\sqrt{x} + y\sqrt{y} = \frac{35}{36}xy \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = y - x \end{cases} $
Первое уравнение второй системы получается умножением обеих частей первого уравнения первой системы на $ xy $: $ xy \left( \frac{\sqrt{x}}{y} + \frac{\sqrt{y}}{x} \right) = xy \cdot \frac{35}{36} $, что приводит к $ x\sqrt{x} + y\sqrt{y} = \frac{35}{36}xy $. Вторые уравнения систем одинаковы.
ОДЗ первой системы требует, чтобы $ x > 0 $ и $ y > 0 $ из-за наличия переменных в знаменателе и под корнем. Для таких $ x $ и $ y $ множитель $ xy $ не равен нулю, и умножение на него является равносильным преобразованием.
ОДЗ второй системы: $ x \ge 0, y \ge 0 $. Эта область шире, чем у первой системы, так как допускает $ x=0 $ или $ y=0 $.
Пусть $ (x_0, y_0) $ — решение первой системы. Тогда для него выполняются оба равенства, а также условия $ x_0 > 0 $ и $ y_0 > 0 $. Умножив первое равенство на $ x_0y_0 \ne 0 $, получим верное равенство, которое является первым уравнением второй системы. Второе уравнение также выполняется. Значит, любое решение первой системы является и решением второй.
Вторая система является следствием первой. Преобразование не равносильно, так как вторая система имеет решение $ (0,0) $, которое не входит в ОДЗ первой системы.
Ответ: Да, является.

г) Сравним две системы:
Первая система: $ \begin{cases} \log_2(x + 2y) = \log_2(2x + y) \\ x^2 - y - 2 = 0 \end{cases} $
Вторая система: $ \begin{cases} x + 2y = 2x + y \\ x^2 - y - 2 = 0 \end{cases} $
Первое уравнение второй системы получается из первого уравнения первой системы путем потенцирования (избавления от логарифмов). Если $ \log_2 A = \log_2 B $, то из этого следует $ A = B $.
ОДЗ первой системы требует, чтобы аргументы логарифмов были положительны: $ x + 2y > 0 $ и $ 2x + y > 0 $. Вторая система таких ограничений не накладывает.
Любое решение $ (x_0, y_0) $ первой системы удовлетворяет равенству $ \log_2(x_0 + 2y_0) = \log_2(2x_0 + y_0) $. В силу монотонности логарифмической функции из этого следует, что $ x_0 + 2y_0 = 2x_0 + y_0 $. Второе уравнение выполняется, так как оно идентично. Следовательно, любое решение первой системы является решением второй.
Вторая система является следствием первой. Преобразование не равносильно. Решая вторую систему, получаем решения $ (2, 2) $ и $ (-1, -1) $. Пара $ (-1, -1) $ не удовлетворяет ОДЗ первой системы ($ -1 + 2(-1) = -3 < 0 $), поэтому является посторонним решением, появившимся в результате расширения ОДЗ.
Ответ: Да, является.

д)* Сравним две системы:
Первая система: $ \begin{cases} \log_7(x + y) + \log_7(x - y) = 1 \\ \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{7}{12} \end{cases} $
Вторая система: $ \begin{cases} \log_7((x + y)(x - y)) = 1 \\ \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{7}{12} \end{cases} $
Первое уравнение второй системы получено из первого уравнения первой по свойству логарифмов: $ \log_a M + \log_a N = \log_a(MN) $. Вторые уравнения идентичны.
Однако ОДЗ этих уравнений различны. Для $ \log_7(x + y) + \log_7(x - y) $ требуется одновременное выполнение условий $ x+y > 0 $ и $ x-y > 0 $. Для $ \log_7((x + y)(x - y)) $ требуется только, чтобы произведение $ (x+y)(x-y) $ было положительным, что возможно в двух случаях: 1) $ x+y > 0 $ и $ x-y > 0 $; 2) $ x+y < 0 $ и $ x-y < 0 $.
ОДЗ первой системы является подмножеством ОДЗ второй системы. Любое решение $ (x_0, y_0) $ первой системы удовлетворяет условиям $ x_0+y_0 > 0 $ и $ x_0-y_0 > 0 $, поэтому для него преобразование $ \log_7(x_0+y_0) + \log_7(x_0-y_0) = \log_7((x_0+y_0)(x_0-y_0)) $ будет верным. Таким образом, любое решение первой системы будет решением и второй.
Вторая система является следствием первой. Преобразование не является равносильным, так как вторая система может иметь решения, удовлетворяющие условиям $ x+y < 0 $ и $ x-y < 0 $, которые не входят в ОДЗ первой. Например, решением второй системы является пара $ (-4, -3) $, которая не является решением первой.
Ответ: Да, является.