Номер 14.41, страница 354 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 14.41, страница 354.

Условие.

14.41 $\begin{cases} x - y + \sqrt{x^2 - 4y^2} = 2 \\ x^5 \cdot \sqrt{x^2 - 4y^2} = 0. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решим данную систему уравнений:

$$ \begin{cases} x - y + \sqrt{x^2 - 4y^2} = 2 \\ x^5 \cdot \sqrt{x^2 - 4y^2} = 0 \end{cases} $$

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменных $x$ и $y$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x^2 - 4y^2 \ge 0$ Это неравенство можно разложить на множители как разность квадратов: $(x - 2y)(x + 2y) \ge 0$

Теперь проанализируем второе уравнение системы: $x^5 \cdot \sqrt{x^2 - 4y^2} = 0$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит нас к двум возможным случаям.

Случай 1: $x^5 = 0$

Из этого уравнения следует, что $x = 0$. Подставим это значение в неравенство ОДЗ: $0^2 - 4y^2 \ge 0$ $-4y^2 \ge 0$ Поскольку $y^2$ всегда неотрицательно ($y^2 \ge 0$), то $-4y^2$ всегда неположительно ($-4y^2 \le 0$). Неравенство $-4y^2 \ge 0$ выполняется только в одном случае, когда $-4y^2 = 0$, что означает $y=0$. Таким образом, единственная пара чисел, которая может быть решением в этом случае, — это $(0, 0)$. Проверим, удовлетворяет ли эта пара первому уравнению системы: $x - y + \sqrt{x^2 - 4y^2} = 2$ $0 - 0 + \sqrt{0^2 - 4 \cdot 0^2} = 2$ $0 + 0 = 2$ $0 = 2$ Мы получили неверное равенство. Следовательно, пара $(0, 0)$ не является решением, и в первом случае решений нет.

Случай 2: $\sqrt{x^2 - 4y^2} = 0$

Если корень равен нулю, то и подкоренное выражение равно нулю: $x^2 - 4y^2 = 0$ $x^2 = 4y^2$ Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $x = 2y$ или $x = -2y$. Теперь подставим значение $\sqrt{x^2 - 4y^2} = 0$ в первое уравнение исходной системы: $x - y + 0 = 2$ $x - y = 2$ Теперь нам нужно рассмотреть две системы уравнений, соответствующие двум подслучаям.

Подслучай 2а: Рассмотрим систему: $$ \begin{cases} x = 2y \\ x - y = 2 \end{cases} $$ Подставим $x = 2y$ из первого уравнения во второе: $2y - y = 2$ $y = 2$ Теперь найдем $x$: $x = 2y = 2 \cdot 2 = 4$. Мы получили возможное решение $(4, 2)$. Проверим его, подставив в исходную систему. ОДЗ: $x^2 - 4y^2 = 4^2 - 4 \cdot 2^2 = 16 - 16 = 0$. Условие $0 \ge 0$ выполнено. Первое уравнение: $4 - 2 + \sqrt{16 - 16} = 2 + 0 = 2$. Равенство верно. Второе уравнение: $4^5 \cdot \sqrt{16 - 16} = 1024 \cdot 0 = 0$. Равенство верно. Значит, пара $(4, 2)$ является решением.

Подслучай 2б: Рассмотрим систему: $$ \begin{cases} x = -2y \\ x - y = 2 \end{cases} $$ Подставим $x = -2y$ из первого уравнения во второе: $-2y - y = 2$ $-3y = 2$ $y = -2/3$ Теперь найдем $x$: $x = -2y = -2 \cdot (-2/3) = 4/3$. Мы получили возможное решение $(4/3, -2/3)$. Проверим его. ОДЗ: $x^2 - 4y^2 = (4/3)^2 - 4 \cdot (-2/3)^2 = 16/9 - 4 \cdot (4/9) = 16/9 - 16/9 = 0$. Условие $0 \ge 0$ выполнено. Первое уравнение: $4/3 - (-2/3) + \sqrt{0} = 4/3 + 2/3 = 6/3 = 2$. Равенство верно. Второе уравнение: $(4/3)^5 \cdot \sqrt{0} = 0$. Равенство верно. Значит, пара $(4/3, -2/3)$ также является решением.

Объединив решения из всех случаев, мы получили две пары чисел, которые удовлетворяют исходной системе уравнений.

Ответ: $(4, 2)$, $(4/3, -2/3)$.