Номер 15.3, страница 360 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

15.3 a) $\frac{x-1}{x^2-1} = a;$

б) $\frac{x+1}{x^2-1} = a;$

В) $\frac{x+2}{x^2-4} = a-1;$

Г) $\frac{x-2}{x^2-4} = a+1.$

Для решения этих уравнений с параметром $a$ важно сначала упростить дробь, а затем учесть область допустимых значений (ОДЗ). Напоминаю, что на ноль делить нельзя, поэтому значения $x$, обращающие знаменатель в ноль, не могут быть корнями.

а) $\frac{x-1}{x^2-1} = a$

1. ОДЗ: $x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ и $x \neq -1$.

2. Упростим дробь: $\frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = a \Rightarrow \frac{1}{x+1} = a$.

3. Решим относительно $x$: $x + 1 = \frac{1}{a} \Rightarrow x = \frac{1}{a} - 1 = \frac{1-a}{a}$ (при $a \neq 0$).

4. Проверим исключенные значения из ОДЗ:
— Если $a = 0$, то уравнение $\frac{1}{x+1} = 0$ решений не имеет.
— Если $x = 1$, то $1 = \frac{1-a}{a} \Rightarrow a = 1 - a \Rightarrow a = 0,5$.
— Если $x = -1$, то $-1 = \frac{1-a}{a} \Rightarrow -a = 1 - a \Rightarrow 0 = 1$ (невозможно).

Ответ: при $a=0$ и $a=0,5$ корней нет; при $a \in (-\infty; 0) \cup (0; 0,5) \cup (0,5; +\infty)$ корень $x = \frac{1-a}{a}$.

б) $\frac{x+1}{x^2-1} = a$

1. ОДЗ: $x \neq 1, x \neq -1$.

2. Упростим: $\frac{x+1}{(x-1)(x+1)} = a \Rightarrow \frac{1}{x-1} = a$.

3. Решим: $x - 1 = \frac{1}{a} \Rightarrow x = \frac{1}{a} + 1 = \frac{1+a}{a}$ (при $a \neq 0$).

4. Проверка ОДЗ:
— Если $x = 1$, то $1 = \frac{1+a}{a} \Rightarrow a = 1 + a \Rightarrow 0 = 1$ (невозможно).
— Если $x = -1$, то $-1 = \frac{1+a}{a} \Rightarrow -a = 1 + a \Rightarrow a = -0,5$.

Ответ: при $a=0$ и $a=-0,5$ корней нет; в остальных случаях $x = \frac{1+a}{a}$.

в) $\frac{x+2}{x^2-4} = a-1$

1. ОДЗ: $x \neq 2, x \neq -2$.

2. Упростим: $\frac{1}{x-2} = a - 1$.

3. Решим: $x - 2 = \frac{1}{a-1} \Rightarrow x = \frac{1}{a-1} + 2 = \frac{1 + 2a - 2}{a-1} = \frac{2a - 1}{a-1}$.

4. Проверка ОДЗ:
— Если $a = 1$, решений нет.
— Если $x = 2$, то $2 = \frac{2a-1}{a-1} \Rightarrow 2a - 2 = 2a - 1 \Rightarrow -2 = -1$ (невозможно).
— Если $x = -2$, то $-2 = \frac{2a-1}{a-1} \Rightarrow -2a + 2 = 2a - 1 \Rightarrow 4a = 3 \Rightarrow a = 0,75$.

Ответ: при $a=1$ и $a=0,75$ корней нет; в остальных случаях $x = \frac{2a-1}{a-1}$.

г) $\frac{x-2}{x^2-4} = a+1$

1. ОДЗ: $x \neq 2, x \neq -2$.

2. Упростим: $\frac{1}{x+2} = a + 1$.

3. Решим: $x + 2 = \frac{1}{a+1} \Rightarrow x = \frac{1}{a+1} - 2 = \frac{1 - 2a - 2}{a+1} = \frac{-2a - 1}{a+1}$.

4. Проверка ОДЗ:
— Если $a = -1$, решений нет.
— Если $x = 2$, то $2 = \frac{-2a-1}{a+1} \Rightarrow 2a + 2 = -2a - 1 \Rightarrow 4a = -3 \Rightarrow a = -0,75$.
— Если $x = -2$, невозможно.

Ответ: при $a=-1$ и $a=-0,75$ корней нет; в остальных случаях $x = \frac{-2a-1}{a+1}$.