Номер 15.3, страница 360 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 15.3, страница 360.

Условие.

15.3 a) $\frac{x-1}{x^2-1} = a;$

б) $\frac{x+1}{x^2-1} = a;$

В) $\frac{x+2}{x^2-4} = a-1;$

Г) $\frac{x-2}{x^2-4} = a+1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Исходное уравнение: $ \frac{x-1}{x^2-1} = a $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $ x^2 - 1 \neq 0 $ $ (x-1)(x+1) \neq 0 $ Следовательно, $ x \neq 1 $ и $ x \neq -1 $.

Разложим знаменатель на множители и упростим левую часть уравнения, учитывая, что $ x \neq 1 $: $ \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = a $ $ \frac{1}{x+1} = a $

Теперь рассмотрим возможные значения параметра $a$.

1. Если $ a = 0 $, то уравнение принимает вид $ \frac{1}{x+1} = 0 $. Это уравнение не имеет решений, так как дробь с числителем 1 не может равняться нулю.

2. Если $ a \neq 0 $, выразим $x$: $ x+1 = \frac{1}{a} $ $ x = \frac{1}{a} - 1 $

Проверим, при каких значениях $a$ найденный корень не удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 1 $ и $ x \neq -1 $).

Проверим $ x = 1 $: $ \frac{1}{a} - 1 = 1 \implies \frac{1}{a} = 2 \implies a = \frac{1}{2} $. При $ a = \frac{1}{2} $ корень $ x=1 $ является посторонним, поэтому решений нет.

Проверим $ x = -1 $: $ \frac{1}{a} - 1 = -1 \implies \frac{1}{a} = 0 $. Это невозможно, значит корень никогда не будет равен -1.

Итак, при $ a=0 $ и $ a=\frac{1}{2} $ решений нет. При всех остальных значениях $a$ решение существует.

Ответ: если $ a \in \{0; \frac{1}{2}\} $, то корней нет; если $ a \notin \{0; \frac{