Номер 15.8, страница 360 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 15.8, страница 360.

Условие.

15.8 a) $\sqrt{x^2 - 6x - a} = x - 3;$

б) $\sqrt{x^2 + 2x + a} = x + 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\sqrt{x^2 - 6x - a} = x - 3$

Данное иррациональное уравнение равносильно системе, в которой правая часть неотрицательна, и подкоренное выражение равно квадрату правой части:

$ \begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ x^2 - 6x - a = (x - 3)^2 \end{cases} $

Решим эту систему. Из первого неравенства получаем:

$x \ge 3$

Теперь решим второе уравнение. Раскроем скобки в правой части, используя формулу квадрата разности:

$x^2 - 6x - a = x^2 - 6x + 9$

Вычтем $x^2 - 6x$ из обеих частей уравнения:

$-a = 9$

$a = -9$

Это уравнение накладывает ограничение на параметр $a$. Теперь необходимо рассмотреть два случая.

1. Если $a \ne -9$.

В этом случае равенство $a = -9$ является неверным. Следовательно, второе уравнение системы не имеет решений, а значит и вся система не имеет решений. Таким образом, при $a \ne -9$ исходное уравнение не имеет корней.

2. Если $a = -9$.

В этом случае равенство $a = -9$ становится тождеством $(-9 = -9)$, которое верно при любом значении $x$. Значит, решение системы сводится к выполнению первого неравенства: $x \ge 3$.

При $a = -9$ исходное уравнение принимает вид $\sqrt{x^2 - 6x + 9} = x - 3$, что равносильно $\sqrt{(x-3)^2} = x-3$, или $|x-3| = x-3$. Это равенство верно тогда и только тогда, когда выражение под модулем неотрицательно, то есть $x-3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$.

Таким образом, при $a = -9$ решением уравнения является любое число $x$ из промежутка $[3; +\infty)$.

Ответ: при $a = -9$ решением является $x \in [3; +\infty)$; при $a \ne -9$ решений нет.

б) $\sqrt{x^2 + 2x + a} = x + 1$

Данное уравнение равносильно следующей системе:

$ \begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ x^2 + 2x + a = (x + 1)^2 \end{cases} $

Решим систему. Первое неравенство дает нам условие на $x$:

$x \ge -1$

Решим второе уравнение. Раскроем скобки в правой части по формуле квадрата суммы:

$x^2 + 2x + a = x^2 + 2x + 1$

Упростим уравнение, вычитая $x^2 + 2x$ из обеих частей:

$a = 1$

Мы получили условие на параметр $a$. Рассмотрим два возможных случая.

1. Если $a \ne 1$.

В этом случае равенство $a = 1$ не выполняется. Значит, второе уравнение системы не имеет решений, и, следовательно, вся система, а с ней и исходное уравнение, не имеют решений.

2. Если $a = 1$.

В этом случае равенство $a = 1$ является тождеством ($1 = 1$), верным для любого $x$. Решение системы определяется первым неравенством: $x \ge -1$.

При $a = 1$ исходное уравнение выглядит так: $\sqrt{x^2 + 2x + 1} = x + 1$, что равносильно $\sqrt{(x+1)^2} = x+1$, или $|x+1| = x+1$. Это равенство выполняется для всех $x$, при которых $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.

Следовательно, при $a=1$ решением уравнения является любое число $x$ из промежутка $[-1; +\infty)$.

Ответ: при $a = 1$ решением является $x \in [-1; +\infty)$; при $a \ne 1$ решений нет.