Номер 15.15, страница 362 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 15.15, страница 362.

Условие.

15.15 a) $x^2 + (a+1)x + a \ge 0;$

В) $x^2 + (a-3)x - 3a > 0;$

б) $x^2 + (a+2)x + 2a \le 0;$

Г) $x^2 + (a-4)x - 4a < 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Решим неравенство $x^2 + (a + 1)x + a \ge 0$.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + (a + 1)x + a = 0$. Левую часть можно разложить на множители:

$x^2 + ax + x + a = x(x+a) + 1(x+a) = (x+1)(x+a)$.

Таким образом, уравнение принимает вид $(x+1)(x+a) = 0$, и его корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -a$.

Исходное неравенство эквивалентно $(x+1)(x+a) \ge 0$. Графиком функции $y = (x+1)(x+a)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, выражение неотрицательно, когда $x$ находится вне интервала между корнями (включая сами корни).

Решение зависит от взаимного расположения корней $x_1=-1$ и $x_2=-a$. Рассмотрим три случая:

1. Если $-a < -1$, что эквивалентно $a > 1$. Корни в порядке возрастания: $-a$, $-1$. Решением является объединение промежутков: $x \in (-\infty, -a] \cup [-1, +\infty)$.
2. Если $-a > -1$, что эквивалентно $a < 1$. Корни в порядке возрастания: $-1$, $-a$. Решением является объединение промежутков: $x \in (-\infty, -1] \cup [-a, +\infty)$.
3. Если $-a = -1$, что эквивалентно $a = 1$. Неравенство принимает вид $(x+1)^2 \ge 0$. Это неравенство верно для любого действительного числа $x$. Решение: $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: если $a > 1$, то $x \in (-\infty, -a] \cup [-1, +\infty)$; если $a < 1$, то $x \in (-\infty, -1] \cup [-a, +\infty)$; если $a = 1$, то $x \in \mathbb{R}$.

б)

Решим неравенство $x^2 + (a + 2)x + 2a \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + (a + 2)x + 2a = 0$. Разложим на множители:

$x^2 + ax + 2x + 2a = x(x+a) + 2(x+a) = (x+2)(x+a)$.

Корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = -a$.

Неравенство принимает вид $(x+2)(x+a) \le 0$. Ветви параболы $y = (x+2)(x+a)$ направлены вверх, поэтому выражение неположительно, когда $x$ находится между корнями (включая сами корни).

Рассмотрим три случая в зависимости от расположения корней:

1. Если $-a < -2$, то есть $a > 2$. Решением является отрезок: $x \in [-a, -2]$.
2. Если $-a > -2$, то есть $a < 2$. Решением является отрезок: $x \in [-2, -a]$.
3. Если $-a = -2$, то есть $a = 2$. Неравенство принимает вид $(x+2)^2 \le 0$. Единственное решение этого неравенства — $x+2=0$, то есть $x = -2$.

Ответ: если $a > 2$, то $x \in [-a, -2]$; если $a < 2$, то $x \in [-2, -a]$; если $a = 2$, то $x = -2$.

в)

Решим неравенство $x^2 + (a - 3)x - 3a > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + (a - 3)x - 3a = 0$. Разложим на множители:

$x^2 + ax - 3x - 3a = x(x+a) - 3(x+a) = (x-3)(x+a)$.

Корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -a$.

Неравенство принимает вид $(x-3)(x+a) > 0$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому выражение строго положительно, когда $x$ находится вне интервала между корнями.

Рассмотрим три случая:

1. Если $-a < 3$, то есть $a > -3$. Корни в порядке возрастания: $-a$, $3$. Решение: $x \in (-\infty, -a) \cup (3, +\infty)$.
2. Если $-a > 3$, то есть $a < -3$. Корни в порядке возрастания: $3$, $-a$. Решение: $x \in (-\infty, 3) \cup (-a, +\infty)$.
3. Если $-a = 3$, то есть $a = -3$. Неравенство принимает вид $(x-3)^2 > 0$. Это неравенство верно для всех $x$, кроме $x = 3$. Решение: $x \in (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$.

Ответ: если $a > -3$, то $x \in (-\infty, -a) \cup (3, +\infty)$; если $a < -3$, то $x \in (-\infty, 3) \cup (-a, +\infty)$; если $a = -3$, то $x \in (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$.

г)

Решим неравенство $x^2 + (a - 4)x - 4a < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + (a - 4)x - 4a = 0$. Разложим на множители:

$x^2 + ax - 4x - 4a = x(x+a) - 4(x+a) = (x-4)(x+a)$.

Корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -a$.

Неравенство принимает вид $(x-4)(x+a) < 0$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому выражение отрицательно, когда $x$ находится строго между корнями.

Рассмотрим три случая:

1. Если $-a < 4$, то есть $a > -4$. Решением является интервал: $x \in (-a, 4)$.
2. Если $-a > 4$, то есть $a < -4$. Решением является интервал: $x \in (4, -a)$.
3. Если $-a = 4$, то есть $a = -4$. Неравенство принимает вид $(x-4)^2 < 0$. Это неравенство не имеет действительных решений, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Ответ: если $a > -4$, то $x \in (-a, 4)$; если $a < -4$, то $x \in (4, -a)$; если $a = -4$, то решений нет ($\emptyset$).