Номер 15.19, страница 362 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами - номер 15.19, страница 362.

Условие.

15.19 a) $\frac{\sqrt{x - a}}{x - 1} \ge 0;$

б) $\frac{\sqrt{x - a}}{x + 2} \le 0;$

в) $\frac{x + 3}{\sqrt{x - a}} \ge 0;$

г) $\frac{x - 4}{\sqrt{x - a}} \le 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Решим неравенство $\frac{\sqrt{x-a}}{x-1} \geq 0$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю:$\begin{cases} x - a \geq 0 \\ x - 1 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq a \\ x \neq 1 \end{cases}$.

2. Решим неравенство методом интервалов с учетом ОДЗ. Числитель $\sqrt{x-a}$ всегда неотрицателен ($\geq 0$) в своей области определения. Дробь будет неотрицательной в двух случаях:
- Числитель равен нулю: $\sqrt{x-a} = 0 \implies x=a$. Это решение, если оно удовлетворяет ОДЗ (то есть $a \neq 1$).
- Числитель и знаменатель положительны: $\begin{cases} \sqrt{x-a} > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > a \\ x > 1 \end{cases}$.

3. Рассмотрим три случая в зависимости от взаимного расположения $a$ и $1$.

Случай 1: $a > 1$.
ОДЗ: $x \geq a$. Так как $a>1$, то условие $x \neq 1$ выполняется автоматически.Для любого $x \in [a, \infty)$, имеем $x \geq a > 1$, поэтому знаменатель $x-1$ положителен. Числитель $\sqrt{x-a}$ неотрицателен. Таким образом, неравенство $\frac{\geq 0}{> 0} \geq 0$ выполняется для всей области определения.Решение: $x \in [a, \infty)$.

Случай 2: $a = 1$.
Неравенство принимает вид $\frac{\sqrt{x-1}}{x-1} \geq 0$.ОДЗ: $\begin{cases} x \geq 1 \\ x \neq 1 \end{cases} \implies x > 1$.На интервале $(1, \infty)$ числитель $\sqrt{x-1} > 0$ и знаменатель $x-1 > 0$, поэтому неравенство выполняется.Решение: $x \in (1, \infty)$.

Случай 3: $a < 1$.
ОДЗ: $x \in [a, 1) \cup (1, \infty)$.Решения состоят из двух частей:
1) $x=a$ (корень числителя). Это решение, так как $a < 1$.
2) Решение системы $\begin{cases} x > a \\ x > 1 \end{cases}$, которое дает $x \in (1, \infty)$.
Объединяя эти решения, получаем $x \in \{a\} \cup (1, \infty)$.

Ответ: если $a > 1$, то $x \in [a, \infty)$; если $a = 1$, то $x \in (1, \infty)$; если $a < 1$, то $x \in \{a\} \cup (1, \infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{\sqrt{x-a}}{x+2} \leq 0$.

1. ОДЗ: $\begin{cases} x - a \geq 0 \\ x + 2 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq a \\ x \neq -2 \end{cases}$.

2. Числитель $\sqrt{x-a} \geq 0$. Дробь будет неположительной в двух случаях:
- Числитель равен нулю: $\sqrt{x-a} = 0 \implies x=a$. Это решение, если $a \neq -2$.
- Числитель положителен, а знаменатель отрицателен: $\begin{cases} \sqrt{x-a} > 0 \\ x + 2 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > a \\ x < -2 \end{cases}$. Эта система имеет решения только если $a < -2$.

3. Рассмотрим три случая в зависимости от взаимного расположения $a$ и $-2$.

Случай 1: $a > -2$.
ОДЗ: $x \geq a$.Одно решение - $x=a$ (числитель равен 0).Система $\begin{cases} x > a \\ x < -2 \end{cases}$ не имеет решений, так как $a > -2$ и $x$ не может быть одновременно больше $a$ и меньше $-2$.Следовательно, единственное решение - $x=a$.

Случай 2: $a = -2$.
Неравенство: $\frac{\sqrt{x+2}}{x+2} \leq 0$.ОДЗ: $\begin{cases} x \geq -2 \\ x \neq -2 \end{cases} \implies x > -2$.На интервале $(-2, \infty)$ числитель и знаменатель положительны, поэтому дробь всегда положительна. Решений нет.

Случай 3: $a < -2$.
ОДЗ: $x \geq a$.Решения состоят из двух частей:
1) $x=a$.
2) Решение системы $\begin{cases} x > a \\ x < -2 \end{cases}$, которое дает $x \in (a, -2)$.
Объединяя эти решения, получаем $x \in [a, -2)$.

Ответ: если $a > -2$, то $x = a$; если $a = -2$, то решений нет; если $a < -2$, то $x \in [a, -2)$.

в) Решим неравенство $\frac{x+3}{\sqrt{x-a}} \geq 0$.

1. ОДЗ: Знаменатель не может быть равен нулю, и подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Эти два условия объединяются в одно строгое неравенство: $x-a > 0 \implies x > a$.

2. На области допустимых значений знаменатель $\sqrt{x-a}$ всегда строго положителен. Следовательно, знак дроби совпадает со знаком числителя. Неравенство равносильно системе:$\begin{cases} x > a \\ x + 3 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > a \\ x \geq -3 \end{cases}$.

3. Решение системы зависит от взаимного расположения $a$ и $-3$.

Случай 1: $a \geq -3$.
Система: $\begin{cases} x > a \\ x \geq -3 \end{cases}$. Так как $a \geq -3$, то условие $x > a$ является более сильным.Решение: $x > a$, то есть $x \in (a, \infty)$.

Случай 2: $a < -3$.
Система: $\begin{cases} x > a \\ x \geq -3 \end{cases}$. Решением является пересечение интервалов $(a, \infty)$ и $[-3, \infty)$, что дает $x \geq -3$.Решение: $x \in [-3, \infty)$.

Ответ: если $a \geq -3$, то $x \in (a, \infty)$; если $a < -3$, то $x \in [-3, \infty)$.

г) Решим неравенство $\frac{x-4}{\sqrt{x-a}} \leq 0$.

1. ОДЗ: Аналогично предыдущему пункту, $x-a > 0 \implies x > a$.

2. На ОДЗ знаменатель $\sqrt{x-a}$ всегда положителен. Знак дроби определяется знаком числителя. Неравенство равносильно системе:$\begin{cases} x > a \\ x - 4 \leq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > a \\ x \leq 4 \end{cases}$.

3. Решение системы зависит от взаимного расположения $a$ и $4$.

Случай 1: $a \geq 4$.
Система: $\begin{cases} x > a \\ x \leq 4 \end{cases}$. Так как $a \geq 4$, то $x > a \geq 4$. Это противоречит условию $x \leq 4$. Система не имеет решений.

Случай 2: $a < 4$.
Система: $\begin{cases} x > a \\ x \leq 4 \end{cases}$. Решением является интервал $(a, 4]$.Решение: $x \in (a, 4]$.

Ответ: если $a \geq 4$, то решений нет; если $a < 4$, то $x \in (a, 4]$.