Номер 15.24, страница 366 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 15.24, страница 366.

Условие.

ИССЛЕДУЕМ. Для каждого значения параметра a решите систему уравнений (15.24–15.29):

15.24 а) $\begin{cases} (a - 1)y = a + 1 \\ x + y = a; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (a + 1)y = a + 2 \\ x + y = a; \end{cases}$

в) $\begin{cases} (a - 1)y = a + 3 \\ x - y = a; \end{cases}$

г) $\begin{cases} (a + 1)y = a + 4 \\ x - y = a. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} (a - 1)y = a + 1 \\ x + y = a \end{cases} $

Для решения системы исследуем первое уравнение $(a - 1)y = a + 1$ относительно переменной $y$. Решение зависит от значения параметра $a$.

Случай 1: Коэффициент при $y$ не равен нулю, то есть $a - 1 \neq 0 \implies a \neq 1$.
В этом случае можно выразить $y$ из первого уравнения: $y = \frac{a+1}{a-1}$.
Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы $x + y = a$ и найдем $x$:
$x = a - y = a - \frac{a+1}{a-1} = \frac{a(a-1) - (a+1)}{a-1} = \frac{a^2 - a - a - 1}{a-1} = \frac{a^2 - 2a - 1}{a-1}$.
Таким образом, при $a \neq 1$ система имеет единственное решение.

Случай 2: Коэффициент при $y$ равен нулю, то есть $a - 1 = 0 \implies a = 1$.
Подставим значение $a=1$ в первое уравнение системы:
$(1 - 1)y = 1 + 1$
$0 \cdot y = 2$
Это уравнение не имеет решений, так как не существует такого значения $y$, которое при умножении на 0 дало бы 2. Следовательно, при $a=1$ вся система уравнений не имеет решений.

Ответ:
если $a \neq 1$, то $x = \frac{a^2 - 2a - 1}{a-1}$, $y = \frac{a+1}{a-1}$;
если $a = 1$, то решений нет.

б)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} (a + 1)y = a + 2 \\ x + y = a \end{cases} $

Рассмотрим первое уравнение $(a + 1)y = a + 2$. Решение зависит от коэффициента при $y$.

Случай 1: Коэффициент при $y$ не равен нулю, то есть $a + 1 \neq 0 \implies a \neq -1$.
В этом случае выражаем $y$:
$y = \frac{a+2}{a+1}$.
Подставляем $y$ во второе уравнение $x + y = a$ для нахождения $x$:
$x = a - y = a - \frac{a+2}{a+1} = \frac{a(a+1) - (a+2)}{a+1} = \frac{a^2 + a - a - 2}{a+1} = \frac{a^2 - 2}{a+1}$.
При $a \neq -1$ система имеет единственное решение.

Случай 2: Коэффициент при $y$ равен нулю, то есть $a + 1 = 0 \implies a = -1$.
Подставим $a=-1$ в первое уравнение:
$(-1 + 1)y = -1 + 2$
$0 \cdot y = 1$
Данное уравнение не имеет решений. Следовательно, при $a=-1$ система не имеет решений.

Ответ:
если $a \neq -1$, то $x = \frac{a^2 - 2}{a+1}$, $y = \frac{a+2}{a+1}$;
если $a = -1$, то решений нет.

в)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} (a - 1)y = a + 3 \\ x - y = a \end{cases} $

Проанализируем первое уравнение $(a - 1)y = a + 3$.

Случай 1: Коэффициент при $y$ не равен нулю, то есть $a - 1 \neq 0 \implies a \neq 1$.
Выражаем $y$:
$y = \frac{a+3}{a-1}$.
Из второго уравнения $x - y = a$ выражаем $x = a + y$. Подставляем найденное значение $y$:
$x = a + \frac{a+3}{a-1} = \frac{a(a-1) + (a+3)}{a-1} = \frac{a^2 - a + a + 3}{a-1} = \frac{a^2 + 3}{a-1}$.
При $a \neq 1$ система имеет единственное решение.

Случай 2: Коэффициент при $y$ равен нулю, то есть $a - 1 = 0 \implies a = 1$.
Подставим $a=1$ в первое уравнение:
$(1 - 1)y = 1 + 3$
$0 \cdot y = 4$
Уравнение не имеет решений, а значит и вся система не имеет решений при $a=1$.

Ответ:
если $a \neq 1$, то $x = \frac{a^2 + 3}{a-1}$, $y = \frac{a+3}{a-1}$;
если $a = 1$, то решений нет.

г)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} (a + 1)y = a + 4 \\ x - y = a \end{cases} $

Исследуем первое уравнение $(a + 1)y = a + 4$.

Случай 1: Коэффициент при $y$ не равен нулю, то есть $a + 1 \neq 0 \implies a \neq -1$.
Выражаем $y$:
$y = \frac{a+4}{a+1}$.
Из второго уравнения $x - y = a$ получаем $x = a + y$. Подставляем $y$:
$x = a + \frac{a+4}{a+1} = \frac{a(a+1) + (a+4)}{a+1} = \frac{a^2 + a + a + 4}{a+1} = \frac{a^2 + 2a + 4}{a+1}$.
При $a \neq -1$ система имеет единственное решение.

Случай 2: Коэффициент при $y$ равен нулю, то есть $a + 1 = 0 \implies a = -1$.
Подставим $a=-1$ в первое уравнение:
$(-1 + 1)y = -1 + 4$
$0 \cdot y = 3$
Это уравнение не имеет решений. Следовательно, и система не имеет решений при $a=-1$.

Ответ:
если $a \neq -1$, то $x = \frac{a^2 + 2a + 4}{a+1}$, $y = \frac{a+4}{a+1}$;
если $a = -1$, то решений нет.