Номер 15.28, страница 366 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 15.28, страница 366.

Условие.

15.28 a) $$\begin{cases}\sin 2x \cos y = -a^2 - 1 \\\sin y \cos 2x = a\end{cases}$$

б) $$\begin{cases}\sin 3x \cos 2y = -a^2 - 1 \\\sin 2y \cos 3x = a + 1\end{cases}$$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sin 2x \cos y = -a^2 - 1 \\ \sin y \cos 2x = a \end{cases} $

Для решения системы воспользуемся формулами синуса суммы и разности двух углов: $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$.

Сложим левые и правые части уравнений системы:

$\sin 2x \cos y + \cos 2x \sin y = -a^2 - 1 + a$

$\sin(2x + y) = -a^2 + a - 1$

Вычтем из первого уравнения второе:

$\sin 2x \cos y - \cos 2x \sin y = -a^2 - 1 - a$

$\sin(2x - y) = -a^2 - a - 1$

Для того чтобы система имела решения, необходимо, чтобы значения синусов находились в отрезке $[-1, 1]$. Таким образом, должны выполняться два условия:

$ \begin{cases} -1 \le -a^2 + a - 1 \le 1 \\ -1 \le -a^2 - a - 1 \le 1 \end{cases} $

Рассмотрим первое двойное неравенство: $-1 \le -a^2 + a - 1 \le 1$.

Оно эквивалентно системе:

$ \begin{cases} -a^2 + a - 1 \ge -1 \\ -a^2 + a - 1 \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} -a^2 + a \ge 0 \\ -a^2 + a - 2 \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} a^2 - a \le 0 \\ a^2 - a + 2 \ge 0 \end{cases} $

Решаем первое неравенство: $a(a-1) \le 0$, что дает $a \in [0, 1]$.

Для второго неравенства $a^2 - a + 2 \ge 0$ вычислим дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -7 < 0$. Так как ветви параболы направлены вверх, это неравенство выполняется для всех действительных $a$.

Таким образом, решение первого двойного неравенства: $a \in [0, 1]$.

Рассмотрим второе двойное неравенство: $-1 \le -a^2 - a - 1 \le 1$.

Оно эквивалентно системе:

$ \begin{cases} -a^2 - a - 1 \ge -1 \\ -a^2 - a - 1 \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} -a^2 - a \ge 0 \\ -a^2 - a - 2 \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} a^2 + a \le 0 \\ a^2 + a + 2 \ge 0 \end{cases} $

Решаем первое неравенство: $a(a+1) \le 0$, что дает $a \in [-1, 0]$.

Для второго неравенства $a^2 + a + 2 \ge 0$ дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -7 < 0$. Неравенство выполняется для всех действительных $a$.

Таким образом, решение второго двойного неравенства: $a \in [-1, 0]$.

Для существования решения исходной системы необходимо, чтобы параметр $a$ удовлетворял обоим условиям. Найдем пересечение полученных множеств:

$[0, 1] \cap [-1, 0] = \{0\}$

Единственное возможное значение параметра — $a = 0$. Проверим, существуют ли решения при $a=0$. Система принимает вид:

$ \begin{cases} \sin(2x + y) = -1 \\ \sin(2x - y) = -1 \end{cases} $

Эта система имеет решения. Например:

$ \begin{cases} 2x + y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \\ 2x - y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \end{cases} $

Сложив уравнения, получим $4x = -\pi + 2\pi(k+n)$, откуда $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}(k+n)$. Вычитая второе из первого, получим $2y = 2\pi(k-n)$, откуда $y = \pi(k-n)$.

Так как при $a=0$ решения существуют, это значение является ответом.

Ответ: $a = 0$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sin 3x \cos 2y = -a^2 - 1 \\ \sin 2y \cos 3x = a + 1 \end{cases} $

Как и в предыдущем пункте, применим формулы синуса суммы и разности. Сложим уравнения:

$\sin 3x \cos 2y + \cos 3x \sin 2y = -a^2 - 1 + a + 1$

$\sin(3x + 2y) = -a^2 + a$

Вычтем из первого уравнения второе:

$\sin 3x \cos 2y - \cos 3x \sin 2y = -a^2 - 1 - (a + 1)$

$\sin(3x - 2y) = -a^2 - a - 2$

Для существования решений системы необходимо, чтобы правые части полученных уравнений принадлежали отрезку $[-1, 1]$. Рассмотрим второе уравнение:

$\sin(3x - 2y) = -a^2 - a - 2$

Значение $\sin(3x - 2y)$ должно быть в пределах от -1 до 1. Проанализируем правую часть $f(a) = -a^2 - a - 2$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз. Найдем ее максимальное значение. Вершина параболы находится в точке $a_0 = -\frac{-1}{2(-1)} = -\frac{1}{2}$.

Максимальное значение функции равно:

$f(-\frac{1}{2}) = -(-\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) - 2 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{4} - 2 = -\frac{7}{4}$

Поскольку максимальное значение выражения $-a^2 - a - 2$ равно $-\frac{7}{4}$, а $-\frac{7}{4} < -1$, то правая часть уравнения $\sin(3x - 2y) = -a^2 - a - 2$ всегда меньше -1 при любом действительном значении $a$.

Так как область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, равенство $\sin(3x - 2y) = -a^2 - a - 2$ не может выполняться ни при каких значениях $x, y, a$.

Следовательно, система не имеет решений ни при каком значении параметра $a$.

Ответ: решений нет.