Номер 15.33, страница 372 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 15.33, страница 372.

Условие.

15.33 При каких значениях параметра $a$ уравнение:

а) $x^2 - (3a - 1)|x| + 2a^2 - a = 0$ имеет 4 различных корня;

б) $x^2 - (4a - 2)|x| + 3a^2 - 2a = 0$ имеет ровно два различных корня?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Исходное уравнение $x^2 - (3a - 1)|x| + 2a^2 - a = 0$ является биквадратным относительно $x$, так как $x^2 = |x|^2$.
Чтобы оно имело 4 различных корня, необходимо, чтобы после замены $y = |x|$ ($y \ge 0$) полученное квадратное уравнение имело два различных положительных корня.

Произведем замену $y = |x|$. Уравнение примет вид:
$y^2 - (3a - 1)y + (2a^2 - a) = 0$.

Для того чтобы это квадратное уравнение имело два различных положительных корня ($y_1 > 0, y_2 > 0, y_1 \neq y_2$), должны одновременно выполняться три условия:

1. Дискриминант должен быть строго положительным: $D > 0$.
2. Произведение корней должно быть положительным (по теореме Виета): $y_1 y_2 > 0$.
3. Сумма корней должна быть положительной (по теореме Виета): $y_1 + y_2 > 0$.

Проверим каждое условие:
1. Найдем дискриминант:
$D = (-(3a - 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a^2 - a) = 9a^2 - 6a + 1 - 8a^2 + 4a = a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$.
Условие $D > 0$ сводится к $(a-1)^2 > 0$, что выполняется для всех $a$, кроме $a=1$. Итак, $a \neq 1$.

2. Произведение корней: $y_1 y_2 = 2a^2 - a$.
Условие $y_1 y_2 > 0$ дает неравенство $2a^2 - a > 0$, или $a(2a - 1) > 0$.
Решением этого неравенства является объединение интервалов $a \in (-\infty, 0) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)$.

3. Сумма корней: $y_1 + y_2 = 3a - 1$.
Условие $y_1 + y_2 > 0$ дает неравенство $3a - 1 > 0$, откуда $a > \frac{1}{3}$.

Теперь найдем значения $a$, которые удовлетворяют всем трем условиям одновременно, то есть найдем пересечение множеств:
$\{ a \neq 1 \} \cap \{ a \in (-\infty, 0) \cup (\frac{1}{2}, +\infty) \} \cap \{ a > \frac{1}{3} \}$.
Из условий $a > \frac{1}{3}$ и $a \in (-\infty, 0) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)$ следует, что $a > \frac{1}{2}$.
Добавляя к этому условие $a \neq 1$, получаем окончательное решение.

Ответ: $a \in (\frac{1}{2}, 1) \cup (1, +\infty)$.

б) Рассматриваем уравнение $x^2 - (4a - 2)|x| + 3a^2 - 2a = 0$.
Так же, как и в пункте а), сделаем замену $y = |x|$, где $y \ge 0$. Получим квадратное уравнение:
$y^2 - (4a - 2)y + 3a^2 - 2a = 0$.

Исходное уравнение будет иметь ровно два различных корня в следующих двух случаях:

• Квадратное уравнение для $y$ имеет один двукратный (кратности 2) положительный корень. Если $y_1=y_2>0$, то $|x| = y_1$ дает два различных корня для $x$.
• Квадратное уравнение для $y$ имеет один положительный и один отрицательный корень. Если $y_1 > 0$ и $y_2 < 0$, то $|x|=y_1$ дает два различных корня для $x$, а уравнение $|x|=y_2$ не имеет решений.

Найдем корни уравнения для $y$. Вычислим дискриминант:
$D = (-(4a - 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3a^2 - 2a) = 16a^2 - 16a + 4 - 12a^2 + 8a = 4a^2 - 8a + 4 = 4(a-1)^2$.
Корни уравнения для $y$:
$y = \frac{(4a - 2) \pm \sqrt{4(a-1)^2}}{2} = \frac{4a - 2 \pm 2|a-1|}{2} = (2a-1) \pm |a-1|$.
Можно показать, что корнями всегда являются $y_1 = a$ и $y_2 = 3a-2$.

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно:
1. Один двукратный положительный корень.
Это условие выполняется, когда $D=0$, то есть $4(a-1)^2=0$, откуда $a=1$.
При $a=1$ корень уравнения для $y$ будет $y=2(1)-1=1$. Так как $y=1>0$, это решение нам подходит.

2. Один положительный и один отрицательный корень.
Это условие эквивалентно тому, что произведение корней отрицательно: $y_1 y_2 < 0$.
Произведение корней равно $a(3a-2)$.
Решаем неравенство $a(3a-2) < 0$. Корнями соответствующего уравнения являются $a=0$ и $a=\frac{2}{3}$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями.
Таким образом, $0 < a < \frac{2}{3}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $a \in (0, \frac{2}{3}) \cup \{1\}$.