Номер 15.37, страница 372 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 15.37, страница 372.

Условие.

15.37 При каких значениях параметра b уравнение:

a) $\log_{2x+1}(3x^2 - bx - 0.25b) = 2$ имеет два различных корня;

б) $\log_{x-b}(0.75x^2 - x + b^2 - b) = 2$ имеет единственный корень?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Найдем значения параметра $b$, при которых уравнение $\log_{2x+1}(3x^2 - bx - 0.25b) = 2$ имеет два различных корня.

Данное логарифмическое уравнение равносильно системе:

$\begin{cases}3x^2 - bx - 0.25b = (2x+1)^2 \\2x+1 > 0 \\2x+1 \neq 1\end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$3x^2 - bx - 0.25b = 4x^2 + 4x + 1$

$4x^2 - 3x^2 + 4x + bx + 1 + 0.25b = 0$

$x^2 + (4+b)x + (1 + 0.25b) = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$.

Теперь рассмотрим ограничения на $x$ из области определения логарифма:

1. $2x+1 > 0 \Rightarrow 2x > -1 \Rightarrow x > -0.5$

2. $2x+1 \neq 1 \Rightarrow 2x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$

Задача сводится к тому, чтобы найти такие значения параметра $b$, при которых квадратное уравнение $x^2 + (4+b)x + (1 + 0.25b) = 0$ имеет два различных корня, и оба этих корня удовлетворяют условиям $x > -0.5$ и $x \neq 0$.

Для того чтобы квадратное уравнение имело два различных корня, его дискриминант $D$ должен быть строго больше нуля.

$D = (4+b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1 + 0.25b) = 16 + 8b + b^2 - 4 - b = b^2 + 7b + 12$

$D > 0 \Rightarrow b^2 + 7b + 12 > 0$

Найдем корни уравнения $b^2 + 7b + 12 = 0$. По теореме Виета, корни $b_1 = -4$ и $b_2 = -3$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $b \in (-\infty, -4) \cup (-3, +\infty)$.

Теперь наложим условия, чтобы оба корня $x_1$ и $x_2$ были больше $-0.5$. Для параболы $f(x) = x^2 + (4+b)x + (1 + 0.25b)$ с ветвями вверх это равносильно выполнению двух условий:

1. Вершина параболы $x_v$ должна быть правее $-0.5$: $x_v = -\frac{4+b}{2} > -0.5 \Rightarrow -(4+b) > -1 \Rightarrow 4+b < 1 \Rightarrow b < -3$.

2. Значение функции в точке $-0.5$ должно быть положительным: $f(-0.5) > 0$.

$f(-0.5) = (-0.5)^2 + (4+b)(-0.5) + (1 + 0.25b) = 0.25 - 2 - 0.5b + 1 + 0.25b = -0.75 - 0.25b$

$-0.75 - 0.25b > 0 \Rightarrow -0.75 > 0.25b \Rightarrow -3 > b \Rightarrow b < -3$.

Объединим все условия для параметра $b$:

$\begin{cases}b \in (-\infty, -4) \cup (-3, +\infty) \\b < -3\end{cases}$

Пересечение этих множеств дает $b \in (-\infty, -4)$.

Наконец, проверим условие $x \neq 0$. Корень $x=0$ возможен, если свободный член квадратного уравнения равен нулю: $1 + 0.25b = 0 \Rightarrow 0.25b = -1 \Rightarrow b = -4$.

Так как найденный интервал $b \in (-\infty, -4)$ не включает точку $b=-4$, то при этих значениях $b$ корень $x=0$ невозможен.

Таким образом, при $b \in (-\infty, -4)$ уравнение имеет два различных корня, удовлетворяющих всем условиям.

Ответ: $b \in (-\infty, -4)$.

б) Найдем значения параметра $b$, при которых уравнение $\log_{x-b}(0.75x^2 - x + b^2 - b) = 2$ имеет единственный корень.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases}0.75x^2 - x + b^2 - b = (x-b)^2 \\x-b > 0 \\x-b \neq 1\end{cases}$

Упростим первое уравнение:

$0.75x^2 - x + b^2 - b = x^2 - 2bx + b^2$

$0 = x^2 - 0.75x^2 - 2bx + x + b$

$0.25x^2 + (1-2b)x + b = 0$

Умножим на 4, чтобы избавиться от дроби:

$x^2 + 4(1-2b)x + 4b = 0$

Условия на $x$ (область определения): $x > b$ и $x \neq b+1$.

Задача сводится к поиску значений $b$, при которых квадратное уравнение $g(x) = x^2 + 4(1-2b)x + 4b = 0$ имеет ровно один корень, удовлетворяющий условиям $x>b$ и $x \neq b+1$.

Рассмотрим два основных случая.

Случай 1: Квадратное уравнение имеет один корень (дискриминант $D=0$), и этот корень удовлетворяет условиям.

$D = (4(1-2b))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4b) = 16(1-4b+4b^2) - 16b = 64b^2 - 80b + 16$

$D=0 \Rightarrow 64b^2 - 80b + 16 = 0 \Rightarrow 4b^2 - 5b + 1 = 0$.

Корни этого уравнения: $b_1 = \frac{5 - \sqrt{25-16}}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ и $b_2 = \frac{5 + \sqrt{25-16}}{8} = \frac{8}{8} = 1$.

При $D=0$ корень уравнения $x_0 = -\frac{4(1-2b)}{2} = 4b-2$.

Если $b = 1/4$, то $x_0 = 4(1/4)-2 = -1$. Проверяем условие $x>b$: $-1 > 1/4$. Неверно. Решений нет.

Если $b=1$, то $x_0 = 4(1)-2 = 2$. Проверяем условия: $x>b \Rightarrow 2>1$ (верно), $x \neq b+1 \Rightarrow 2 \neq 1+1$ (неверно). Решений нет.

Случай 2: Квадратное уравнение имеет два различных корня ($D>0$), но только один из них удовлетворяет условиям.

$D > 0 \Rightarrow 4b^2 - 5b + 1 > 0 \Rightarrow b \in (-\infty, 1/4) \cup (1, +\infty)$.

Чтобы ровно один корень удовлетворял условиям, рассмотрим, как корни $x_1, x_2$ расположены относительно $b$ и $b+1$.

Расположение относительно $b$ определяется знаком $g(b)$:$g(b) = b^2 + 4(1-2b)b + 4b = b^2 + 4b - 8b^2 + 4b = -7b^2 + 8b = -b(7b-8)$.

а) Один корень больше $b$, другой меньше $b$. Это происходит, когда $g(b)<0$ (т.к. ветви параболы вверх).

$-b(7b-8) < 0 \Rightarrow b(7b-8) > 0 \Rightarrow b \in (-\infty, 0) \cup (8/7, +\infty)$.

Совмещая с условием $D>0$, получаем $b \in (-\infty, 0) \cup (8/7, +\infty)$. В этом случае у нас есть один корень $x_{val} > b$ и один $x_{inv} < b$. Корень $x_{inv}$ не входит в ОДЗ. Единственным кандидатом в решения является $x_{val}$. Он будет решением, если $x_{val} \neq b+1$. Это условие нарушается, если $b+1$ является корнем, т.е. $g(b+1)=0$.

$g(b+1) = (b+1)^2 + 4(1-2b)(b+1) + 4b = -7b^2+2b+5 = 0$. Корни: $b=1$ и $b=-5/7$.Значение $b=1$ не входит в рассматриваемый диапазон. Значение $b=-5/7$ входит. При $b=-5/7$ один из корней равен $b+1 = 2/7$. Второй корень равен $-10$. Корень $x=-10 < -5/7$, он не подходит. Корень $x=2/7$ отбрасывается по условию $x \neq b+1$. Значит при $b=-5/7$ решений нет.Таким образом, в этом подслучае решения есть при $b \in (-\infty, -5/7) \cup (-5/7, 0) \cup (8/7, +\infty)$.

б) Один корень равен $b$. Это происходит, когда $g(b)=0$, то есть при $b=0$ или $b=8/7$.

При $b=0$, уравнение $x^2+4x=0$ имеет корни $x_1=0, x_2=-4$. Условие $x>b$ (т.е. $x>0$) не выполняется ни для одного из них. Решений нет.

При $b=8/7$, уравнение $x^2 - \frac{36}{7}x + \frac{32}{7}=0$ имеет корни $x_1=b=8/7$ и $x_2=4$. Корень $x_1=8/7$ не удовлетворяет условию $x>b$. Для корня $x_2=4$ проверяем условия: $4 > 8/7$ (верно) и $4 \neq 8/7+1 = 15/7$ (верно). Таким образом, при $b=8/7$ есть ровно один корень. Это значение $b$ является решением.

в) Оба корня больше $b$ или оба меньше $b$. Это происходит, когда $g(b)>0$, то есть $b \in (0, 8/7)$.

Совмещая с $D>0$, получаем $b \in (0, 1/4) \cup (1, 8/7)$.

Положение корней относительно $b$ определяется вершиной $x_v = 4b-2$.При $b \in (0, 1/4)$, $x_v < 4(1/4)-2 = -1 < b$. Оба корня меньше $b$. Решений нет.

При $b \in (1, 8/7)$, $x_v > 4(1)-2=2 > b$. Оба корня больше $b$. Чтобы решение было единственным, один из корней должен быть равен $b+1$. Это происходит, если $g(b+1)=0$, то есть при $b=1$. Но $b=1$ не входит в интервал $(1, 8/7)$. Значит, в этом диапазоне у уравнения всегда два различных решения. Решений для нашей задачи здесь нет.

Объединяем все найденные значения $b$:

Из подслучая а): $b \in (-\infty, -5/7) \cup (-5/7, 0) \cup (8/7, +\infty)$.

Из подслучая б): $b = 8/7$.

Объединяя эти множества, получаем окончательный ответ.

Ответ: $b \in (-\infty, -5/7) \cup (-5/7, 0) \cup [8/7, +\infty)$.