Номер 15.42, страница 373 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами - номер 15.42, страница 373.

Условие.

15.42 Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенство $x + \frac{7a^2 - a - 2}{x - 2} < -7a$ не имеет решений $x$, больших 1.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Исходное неравенство: $x + \frac{7a^2 - a - 2}{x - 2} < -7a$.

Область допустимых значений для $x$ определяется условием $x - 2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$x + 7a + \frac{7a^2 - a - 2}{x - 2} < 0$

$\frac{(x + 7a)(x - 2) + 7a^2 - a - 2}{x - 2} < 0$

$\frac{x^2 - 2x + 7ax - 14a + 7a^2 - a - 2}{x - 2} < 0$

$\frac{x^2 + (7a - 2)x + (7a^2 - 15a - 2)}{x - 2} < 0$

Обозначим числитель дроби как квадратичную функцию от $x$: $P(x) = x^2 + (7a - 2)x + (7a^2 - 15a - 2)$.

Неравенство принимает вид $\frac{P(x)}{x - 2} < 0$.

По условию задачи, это неравенство не должно иметь решений $x$, больших 1. Это означает, что для любого $x \in (1, +\infty)$ данное неравенство неверно. Таким образом, для всех $x \in (1, +\infty)$ (кроме $x=2$) должно выполняться противоположное неравенство:

$\frac{P(x)}{x - 2} \geq 0$

Рассмотрим это условие на двух интервалах, на которые точка $x=2$ делит область $x > 1$.

1. Интервал (1, 2)

На этом интервале знаменатель $x - 2$ отрицателен. Чтобы дробь $\frac{P(x)}{x - 2}$ была неотрицательной, числитель $P(x)$ должен быть неположительным.

Итак, для всех $x \in (1, 2)$ должно выполняться $P(x) \leq 0$.

Так как $P(x)$ — непрерывная функция (парабола), это означает, что на концах интервала должно быть $P(1) \leq 0$ и $P(2) \leq 0$.

2. Интервал (2, +∞)

На этом интервале знаменатель $x - 2$ положителен. Чтобы дробь $\frac{P(x)}{x - 2}$ была неотрицательной, числитель $P(x)$ должен быть неотрицательным.

Итак, для всех $x \in (2, +\infty)$ должно выполняться $P(x) \geq 0$.

Так как $P(x)$ — непрерывная функция, это означает, что $P(2) \geq 0$.

Объединение условий

Из двух полученных условий, $P(2) \leq 0$ и $P(2) \geq 0$, следует, что $P(2)$ может быть только равен нулю:

$P(2) = 0$

Найдем значение $P(2)$:

$P(2) = 2^2 + (7a - 2) \cdot 2 + (7a^2 - 15a - 2) = 4 + 14a - 4 + 7a^2 - 15a - 2 = 7a^2 - a - 2$.

Приравниваем это выражение к нулю:

$7a^2 - a - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $a$:

Дискриминант $D_a = (-1)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-2) = 1 + 56 = 57$.

Корни: $a_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 7} = \frac{1 \pm \sqrt{57}}{14}$.

Теперь нужно проверить, выполняются ли при этих значениях $a$ остальные условия. Если $P(2)=0$, то $x=2$ является корнем числителя. Это означает, что в выражении $\frac{P(x)}{x-2}$ можно сократить множитель $(x-2)$.

Когда $7a^2 - a - 2 = 0$, исходное неравенство $x + \frac{7a^2 - a - 2}{x - 2} < -7a$ упрощается:

$x + \frac{0}{x - 2} < -7a$

$x < -7a$ (при условии $x \neq 2$)

Множество решений этого неравенства: $S = (-\infty, -7a) \setminus \{2\}$.

По условию задачи, это множество не должно содержать чисел $x$, больших 1. То есть пересечение $S \cap (1, +\infty)$ должно быть пустым.

Это возможно только в том случае, если верхняя граница множества решений $S$ не превышает 1, то есть:

$-7a \leq 1$

$a \geq -\frac{1}{7}$

Теперь выберем из найденных корней $a_1, a_2$ те, которые удовлетворяют условию $a \geq -\frac{1}{7}$.

Проверка корней

1. $a_1 = \frac{1 - \sqrt{57}}{14}$. Сравним это значение с $-\frac{1}{7} = -\frac{2}{14}$.

$\frac{1 - \sqrt{57}}{14} \geq -\frac{2}{14}$

$1 - \sqrt{57} \geq -2$

$3 \geq \sqrt{57}$

$9 \geq 57$

Это неравенство ложно, следовательно, $a_1$ не является решением.

2. $a_2 = \frac{1 + \sqrt{57}}{14}$. Сравним это значение с $-\frac{1}{7}$.

Так как $\sqrt{57} > 0$, то $1 + \sqrt{57} > 0$, и, следовательно, $a_2 = \frac{1 + \sqrt{57}}{14} > 0$. Любое положительное число больше отрицательного, поэтому $a_2 > -\frac{1}{7}$.

Это неравенство истинно, следовательно, $a_2$ является решением.

Таким образом, единственное значение параметра $a$, удовлетворяющее условию задачи, это $a = \frac{1 + \sqrt{57}}{14}$.

Ответ: $a = \frac{1 + \sqrt{57}}{14}$.