Номер 15.42, страница 373 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 15.42, страница 373.
№15.42 (с. 373)
Условие. №15.42 (с. 373)
скриншот условия

15.42 Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенство $x + \frac{7a^2 - a - 2}{x - 2} < -7a$ не имеет решений $x$, больших 1.
Решение 1. №15.42 (с. 373)

Решение 2. №15.42 (с. 373)

Решение 3. №15.42 (с. 373)


Решение 4. №15.42 (с. 373)
Исходное неравенство: $x + \frac{7a^2 - a - 2}{x - 2} < -7a$.
Область допустимых значений для $x$ определяется условием $x - 2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.
Перенесем все члены неравенства в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$x + 7a + \frac{7a^2 - a - 2}{x - 2} < 0$
$\frac{(x + 7a)(x - 2) + 7a^2 - a - 2}{x - 2} < 0$
$\frac{x^2 - 2x + 7ax - 14a + 7a^2 - a - 2}{x - 2} < 0$
$\frac{x^2 + (7a - 2)x + (7a^2 - 15a - 2)}{x - 2} < 0$
Обозначим числитель дроби как квадратичную функцию от $x$: $P(x) = x^2 + (7a - 2)x + (7a^2 - 15a - 2)$.
Неравенство принимает вид $\frac{P(x)}{x - 2} < 0$.
По условию задачи, это неравенство не должно иметь решений $x$, больших 1. Это означает, что для любого $x \in (1, +\infty)$ данное неравенство неверно. Таким образом, для всех $x \in (1, +\infty)$ (кроме $x=2$) должно выполняться противоположное неравенство:
$\frac{P(x)}{x - 2} \geq 0$
Рассмотрим это условие на двух интервалах, на которые точка $x=2$ делит область $x > 1$.
1. Интервал (1, 2)
На этом интервале знаменатель $x - 2$ отрицателен. Чтобы дробь $\frac{P(x)}{x - 2}$ была неотрицательной, числитель $P(x)$ должен быть неположительным.
Итак, для всех $x \in (1, 2)$ должно выполняться $P(x) \leq 0$.
Так как $P(x)$ — непрерывная функция (парабола), это означает, что на концах интервала должно быть $P(1) \leq 0$ и $P(2) \leq 0$.
2. Интервал (2, +∞)
На этом интервале знаменатель $x - 2$ положителен. Чтобы дробь $\frac{P(x)}{x - 2}$ была неотрицательной, числитель $P(x)$ должен быть неотрицательным.
Итак, для всех $x \in (2, +\infty)$ должно выполняться $P(x) \geq 0$.
Так как $P(x)$ — непрерывная функция, это означает, что $P(2) \geq 0$.
Объединение условий
Из двух полученных условий, $P(2) \leq 0$ и $P(2) \geq 0$, следует, что $P(2)$ может быть только равен нулю:
$P(2) = 0$
Найдем значение $P(2)$:
$P(2) = 2^2 + (7a - 2) \cdot 2 + (7a^2 - 15a - 2) = 4 + 14a - 4 + 7a^2 - 15a - 2 = 7a^2 - a - 2$.
Приравниваем это выражение к нулю:
$7a^2 - a - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $a$:
Дискриминант $D_a = (-1)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-2) = 1 + 56 = 57$.
Корни: $a_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 7} = \frac{1 \pm \sqrt{57}}{14}$.
Теперь нужно проверить, выполняются ли при этих значениях $a$ остальные условия. Если $P(2)=0$, то $x=2$ является корнем числителя. Это означает, что в выражении $\frac{P(x)}{x-2}$ можно сократить множитель $(x-2)$.
Когда $7a^2 - a - 2 = 0$, исходное неравенство $x + \frac{7a^2 - a - 2}{x - 2} < -7a$ упрощается:
$x + \frac{0}{x - 2} < -7a$
$x < -7a$ (при условии $x \neq 2$)
Множество решений этого неравенства: $S = (-\infty, -7a) \setminus \{2\}$.
По условию задачи, это множество не должно содержать чисел $x$, больших 1. То есть пересечение $S \cap (1, +\infty)$ должно быть пустым.
Это возможно только в том случае, если верхняя граница множества решений $S$ не превышает 1, то есть:
$-7a \leq 1$
$a \geq -\frac{1}{7}$
Теперь выберем из найденных корней $a_1, a_2$ те, которые удовлетворяют условию $a \geq -\frac{1}{7}$.
Проверка корней
1. $a_1 = \frac{1 - \sqrt{57}}{14}$. Сравним это значение с $-\frac{1}{7} = -\frac{2}{14}$.
$\frac{1 - \sqrt{57}}{14} \geq -\frac{2}{14}$
$1 - \sqrt{57} \geq -2$
$3 \geq \sqrt{57}$
$9 \geq 57$
Это неравенство ложно, следовательно, $a_1$ не является решением.
2. $a_2 = \frac{1 + \sqrt{57}}{14}$. Сравним это значение с $-\frac{1}{7}$.
Так как $\sqrt{57} > 0$, то $1 + \sqrt{57} > 0$, и, следовательно, $a_2 = \frac{1 + \sqrt{57}}{14} > 0$. Любое положительное число больше отрицательного, поэтому $a_2 > -\frac{1}{7}$.
Это неравенство истинно, следовательно, $a_2$ является решением.
Таким образом, единственное значение параметра $a$, удовлетворяющее условию задачи, это $a = \frac{1 + \sqrt{57}}{14}$.
Ответ: $a = \frac{1 + \sqrt{57}}{14}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 15.42 расположенного на странице 373 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №15.42 (с. 373), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.