Номер 15.38, страница 372 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 15.38, страница 372.

Условие.

15.38 При каких значениях параметра a:

а) все $x > 3$ являются решениями неравенства

$(a - 2)x^2 - 2x - a > 0;$

б) все $x > 1,5$ являются решениями неравенства

$(a - 2)x^2 - 2x - 3a + 10 > 0?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Требуется найти все значения параметра $a$, при которых неравенство $(a - 2)x^2 - 2x - a > 0$ выполняется для всех $x > 3$. Обозначим левую часть неравенства как $f(x) = (a - 2)x^2 - 2x - a$.

Рассмотрим три случая в зависимости от знака коэффициента при $x^2$.

1. Случай $a - 2 = 0$, то есть $a = 2$.
Неравенство становится линейным: $-2x - 2 > 0$, что равносильно $2x < -2$, или $x < -1$.Множество решений $x \in (-\infty, -1)$ не содержит интервал $(3, +\infty)$. Следовательно, $a=2$ не является решением.

2. Случай $a - 2 < 0$, то есть $a < 2$.
График функции $f(x)$ — парабола, ветви которой направлены вниз. При $x \to +\infty$, значение $f(x) \to -\infty$. Таким образом, неравенство $f(x) > 0$ не может выполняться для всех $x$ из бесконечного интервала $(3, +\infty)$. Значит, при $a < 2$ решений нет.

3. Случай $a - 2 > 0$, то есть $a > 2$.
График функции $f(x)$ — парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $f(x) > 0$ выполняется для значений $x$ за пределами корней квадратного трехчлена. Найдем корни уравнения $(a - 2)x^2 - 2x - a = 0$.
Дискриминант $D = (-2)^2 - 4(a - 2)(-a) = 4 + 4a(a - 2) = 4 + 4a^2 - 8a = 4(a^2 - 2a + 1) = 4(a - 1)^2$.Поскольку $a > 2$, то $D > 0$, и уравнение всегда имеет два различных корня.$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{4(a-1)^2}}{2(a-2)} = \frac{2 \pm 2|a-1|}{2(a-2)}$.Так как $a > 2$, то $a-1 > 0$, и $|a-1| = a-1$.$x_1 = \frac{2 - 2(a-1)}{2(a-2)} = \frac{2 - 2a + 2}{2(a-2)} = \frac{4 - 2a}{2(a-2)} = \frac{-2(a-2)}{2(a-2)} = -1$.$x_2 = \frac{2 + 2(a-1)}{2(a-2)} = \frac{2a}{2(a-2)} = \frac{a}{a-2}$.Сравним корни: при $a > 2$, $\frac{a}{a-2} = \frac{a-2+2}{a-2} = 1 + \frac{2}{a-2} > 1$. Значит, $x_2 > x_1$.Решение неравенства $f(x) > 0$ есть объединение интервалов $(-\infty, -1) \cup (\frac{a}{a-2}, +\infty)$.По условию, все $x > 3$ должны быть решениями, то есть должно выполняться включение $(3, +\infty) \subseteq (-\infty, -1) \cup (\frac{a}{a-2}, +\infty)$.Это возможно только если $(3, +\infty) \subseteq (\frac{a}{a-2}, +\infty)$, что равносильно условию $\frac{a}{a-2} \le 3$.Решим это неравенство при условии $a > 2$:$\frac{a}{a-2} - 3 \le 0 \implies \frac{a - 3(a-2)}{a-2} \le 0 \implies \frac{a - 3a + 6}{a-2} \le 0 \implies \frac{6 - 2a}{a-2} \le 0$.$\frac{-2(a-3)}{a-2} \le 0 \implies \frac{a-3}{a-2} \ge 0$.Так как мы рассматриваем случай $a>2$, знаменатель $a-2$ положителен. Следовательно, числитель $a-3$ должен быть неотрицателен: $a-3 \ge 0$, то есть $a \ge 3$.Это значение удовлетворяет условию $a > 2$.

Ответ: $a \in [3, +\infty)$.

б) Требуется найти все значения параметра $a$, при которых неравенство $(a - 2)x^2 - 2x - 3a + 10 > 0$ выполняется для всех $x > 1.5$. Обозначим левую часть как $g(x) = (a - 2)x^2 - 2x - 3a + 10$.

Аналогично пункту а), случаи $a=2$ и $a<2$ не дают решений. Рассмотрим случай $a - 2 > 0$, то есть $a > 2$.График $g(x)$ — парабола с ветвями вверх. Положение ее вершины относительно точки $x=1.5$ определяет поведение функции на интервале $(1.5, +\infty)$.Координата вершины по оси абсцисс: $x_v = -\frac{-2}{2(a-2)} = \frac{1}{a-2}$.

Разобьем решение на два случая.

1. Вершина левее или в точке $x=1.5$: $x_v \le 1.5$.
$\frac{1}{a-2} \le 1.5$. Так как $a>2$, то $a-2 > 0$. Умножим обе части на $a-2$:$1 \le 1.5(a-2) \implies 1 \le 1.5a - 3 \implies 4 \le 1.5a \implies a \ge \frac{4}{1.5} = \frac{8}{3}$.В этом случае ($a \ge 8/3$) функция $g(x)$ возрастает на промежутке $[1.5, +\infty)$. Для выполнения условия $g(x) > 0$ при $x > 1.5$ достаточно, чтобы $g(1.5) \ge 0$.$g(1.5) = g(3/2) = (a-2)(3/2)^2 - 2(3/2) - 3a + 10 = \frac{9}{4}(a-2) - 3 - 3a + 10 = \frac{9}{4}a - \frac{9}{2} - 3a + 7 = -\frac{3}{4}a + \frac{5}{2}$.Решим неравенство $g(1.5) \ge 0$:$-\frac{3}{4}a + \frac{5}{2} \ge 0 \implies \frac{5}{2} \ge \frac{3}{4}a \implies 10 \ge 3a \implies a \le \frac{10}{3}$.Объединяя условия этого случая, получаем $a \in [8/3, 10/3]$.

2. Вершина правее точки $x=1.5$: $x_v > 1.5$.
$\frac{1}{a-2} > 1.5 \implies 1 > 1.5a - 3 \implies 4 > 1.5a \implies a < 8/3$.С учетом $a>2$, этот случай соответствует $2 < a < 8/3$.Здесь минимум функции на луче $[1.5, +\infty)$ достигается в вершине $x_v$. Условие $g(x) > 0$ будет выполнено, если $g(x_v) > 0$.Значение функции в вершине $g(x_v) = -\frac{D}{4A}$, где $A=a-2$, а $D$ — дискриминант.$D = (-2)^2 - 4(a-2)(-3a+10) = 4 - 4(-3a^2 + 10a + 6a - 20) = 4(-3a^2+16a-20) + 4 = 12a^2 - 64a + 84 = 4(3a^2 - 16a + 21)$.$g(x_v) = -\frac{4(3a^2 - 16a + 21)}{4(a-2)} = -\frac{3a^2 - 16a + 21}{a-2}$.Требуем $g(x_v) > 0$: $-\frac{3a^2 - 16a + 21}{a-2} > 0$.Так как $a-2 > 0$, это равносильно $-(3a^2 - 16a + 21) > 0$, или $3a^2 - 16a + 21 < 0$.Найдем корни уравнения $3a^2 - 16a + 21 = 0$: $a = \frac{16 \pm \sqrt{16^2 - 4 \cdot 3 \cdot 21}}{2 \cdot 3} = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 252}}{6} = \frac{16 \pm 2}{6}$.Корни $a_1 = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$ и $a_2 = \frac{18}{6} = 3$.Неравенство $3a^2 - 16a + 21 < 0$ выполняется между корнями: $a \in (7/3, 3)$.Пересекая с условием этого случая $a \in (2, 8/3)$, получаем $a \in (7/3, 8/3)$.

Итоговое решение — это объединение результатов двух случаев:$a \in [8/3, 10/3] \cup (7/3, 8/3)$.Объединяя эти множества, получаем $a \in (7/3, 10/3]$.

Ответ: $a \in (7/3, 10/3]$.