Номер 15.36, страница 372 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 15.36, страница 372.

Условие.

15.36 При каких значениях параметра a уравнение:

а) $4^x - (5a - 3)2^x + 4a^2 - 3a = 0$ имеет единственный корень;

б) $9^x - 2(3a - 2)3^x + 5a^2 - 4a = 0$ имеет два различных корня?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Данное уравнение $4^x - (5a - 3)2^x + 4a^2 - 3a = 0$ является показательным. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Поскольку показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$. Уравнение принимает вид квадратного относительно $t$:
$t^2 - (5a - 3)t + 4a^2 - 3a = 0$.
Исходное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда это квадратное уравнение имеет ровно один положительный корень.
Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно заметить, что свободный член $4a^2 - 3a$ раскладывается на множители $a(4a-3)$, а коэффициент при $t$ равен $-(5a-3) = -(a + (4a-3))$. По теореме Виета, корнями уравнения являются $t_1 = a$ и $t_2 = 4a - 3$.
Теперь рассмотрим случаи, когда ровно один из этих корней положителен.

1. Квадратное уравнение имеет один корень, и он положителен.
Это происходит, когда дискриминант равен нулю, то есть $t_1 = t_2$.
$a = 4a - 3 \implies 3a = 3 \implies a = 1$.
При $a=1$ корень уравнения $t = 1$. Так как $1 > 0$, это дает один корень для исходного уравнения: $2^x = 1 \implies x = 0$. Следовательно, $a=1$ является решением.

2. Квадратное уравнение имеет два различных корня, но только один из них положителен.
Это означает, что один корень положительный, а другой — отрицательный или равен нулю.

а) Один корень положителен, другой равен нулю. Это эквивалентно тому, что произведение корней равно нулю ($t_1 t_2 = 0$), а сумма корней положительна ($t_1 + t_2 > 0$).
$t_1 t_2 = a(4a-3) = 0 \implies a=0$ или $a=3/4$.
Если $a=0$, то корни $t_1=0, t_2=-3$. Оба корня не являются положительными. Решений для $x$ нет.
Если $a=3/4$, то корни $t_1=3/4, t_2=0$. Один корень ($3/4$) положителен. Это дает один корень для $x$: $2^x=3/4$. Следовательно, $a=3/4$ является решением.

б) Один корень положителен, другой отрицателен. Это эквивалентно тому, что их произведение отрицательно.
$t_1 t_2 = a(4a - 3) < 0$.
Решая неравенство, находим, что $a \in (0, 3/4)$.

Объединяя все найденные значения параметра $a$, получаем: $a=1$, $a=3/4$ и $a \in (0, 3/4)$.
Таким образом, итоговый интервал для $a$ есть $(0, 3/4] \cup \{1\}$.
Ответ: $a \in (0; 3/4] \cup \{1\}$.

б) Данное уравнение $9^x - 2(3a - 2)3^x + 5a^2 - 4a = 0$ является показательным. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как $t > 0$, уравнение примет вид:
$t^2 - 2(3a - 2)t + 5a^2 - 4a = 0$.
Исходное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда это квадратное уравнение имеет два различных положительных корня. Для этого должны выполняться три условия одновременно:

1. Дискриминант должен быть строго больше нуля (два различных действительных корня): $D > 0$.
$D = (-2(3a - 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5a^2 - 4a) = 4(9a^2 - 12a + 4) - 20a^2 + 16a = 36a^2 - 48a + 16 - 20a^2 + 16a = 16a^2 - 32a + 16 = 16(a^2 - 2a + 1) = 16(a-1)^2$.
Условие $D > 0$ означает $16(a-1)^2 > 0$, что выполняется для всех $a$, кроме $a=1$. То есть $a \neq 1$.

2. Сумма корней должна быть положительна (по теореме Виета): $t_1 + t_2 > 0$.
$t_1 + t_2 = 2(3a - 2)$.
$2(3a - 2) > 0 \implies 3a - 2 > 0 \implies 3a > 2 \implies a > 2/3$.

3. Произведение корней должно быть положительно (по теореме Виета): $t_1 \cdot t_2 > 0$.
$t_1 \cdot t_2 = 5a^2 - 4a$.
$5a^2 - 4a > 0 \implies a(5a - 4) > 0$.
Корни выражения $a(5a - 4)$ равны $0$ и $4/5$. Это парабола ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $a \in (-\infty, 0) \cup (4/5, \infty)$.

Теперь найдем пересечение всех трех условий:
$\begin{cases} a \neq 1 \\ a > 2/3 \\ a \in (-\infty, 0) \cup (4/5, \infty) \end{cases}$
Из второго и третьего условий следует, что $a$ должно быть одновременно больше $2/3$ и принадлежать объединению $(-\infty, 0) \cup (4/5, \infty)$. Так как $2/3 \approx 0.667$, а $4/5 = 0.8$, то пересечением будет интервал $a > 4/5$.
Теперь учтем первое условие: $a \neq 1$. Значение $a=1$ входит в интервал $a > 4/5$, поэтому его нужно исключить.
В итоге получаем $a \in (4/5, 1) \cup (1, \infty)$.
Ответ: $a \in (4/5; 1) \cup (1; \infty)$.