Номер 15.39, страница 373 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 15.39, страница 373.

Условие.

15.39 При каких значениях параметра a неравенство:

a) $\sqrt{x^2 - 10x + 26} \ge \frac{2a^2 - 4a - 3}{a^2 - 2a - 8}$ выполняется для всех x;

б) $\sqrt{x^2 + 8x + 20} \le \frac{2a^2 - 4a - 3}{a^2 - 2a - 8}$ не имеет решений?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Рассмотрим неравенство $\sqrt{x^2 - 10x + 26} \ge \frac{2a^2 - 4a - 3}{a^2 - 2a - 8}$. Оно должно выполняться для всех значений $x$.

Проанализируем левую часть неравенства. Обозначим ее как $f(x) = \sqrt{x^2 - 10x + 26}$.

Для того чтобы найти множество значений функции $f(x)$, выделим полный квадрат в подкоренном выражении:

$x^2 - 10x + 26 = (x^2 - 10x + 25) + 1 = (x - 5)^2 + 1$.

Поскольку выражение $(x-5)^2$ неотрицательно для любого действительного $x$ (т.е. $(x-5)^2 \ge 0$), минимальное значение подкоренного выражения $(x-5)^2 + 1$ равно $1$ и достигается при $x=5$.

Следовательно, минимальное значение левой части неравенства, функции $f(x)$, равно $\sqrt{1} = 1$. Множество значений функции $f(x)$ есть $[1, +\infty)$.

Для того чтобы неравенство $f(x) \ge C(a)$ (где $C(a) = \frac{2a^2 - 4a - 3}{a^2 - 2a - 8}$ — правая часть, не зависящая от $x$) выполнялось для всех $x$, необходимо и достаточно, чтобы правая часть была не больше минимального значения левой части.

То есть, должно выполняться условие: $\frac{2a^2 - 4a - 3}{a^2 - 2a - 8} \le 1$.

Прежде всего, определим область допустимых значений параметра $a$. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$a^2 - 2a - 8 \ne 0$.

Решая квадратное уравнение $a^2 - 2a - 8 = 0$, находим корни $a_1 = 4$ и $a_2 = -2$. Таким образом, ОДЗ для $a$: $a \ne 4$ и $a \ne -2$.

Теперь решим неравенство для $a$:

$\frac{2a^2 - 4a - 3}{a^2 - 2a - 8} - 1 \le 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{(2a^2 - 4a - 3) - (a^2 - 2a - 8)}{a^2 - 2a - 8} \le 0$

$\frac{2a^2 - 4a - 3 - a^2 + 2a + 8}{a^2 - 2a - 8} \le 0$

$\frac{a^2 - 2a + 5}{a^2 - 2a - 8} \le 0$

Рассмотрим числитель $a^2 - 2a + 5$. Его дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $1 > 0$, выражение $a^2 - 2a + 5$ всегда положительно при любых значениях $a$.

Поскольку числитель всегда положителен, знак дроби определяется знаком знаменателя. Для выполнения неравенства знаменатель должен быть строго отрицательным (равенство нулю невозможно, так как числитель не равен нулю):

$a^2 - 2a - 8 < 0$.

Корни этого квадратного трехчлена: $a_1 = 4$ и $a_2 = -2$. Так как это парабола с ветвями вверх, она принимает отрицательные значения между корнями.

Следовательно, $-2 < a < 4$. Этот интервал не включает значения $-2$ и $4$, поэтому он полностью входит в ОДЗ.

Ответ: $a \in (-2, 4)$.

б)

Рассмотрим неравенство $\sqrt{x^2 + 8x + 20} \le \frac{2a^2 - 4a - 3}{a^2 - 2a - 8}$. Требуется найти значения параметра $a$, при которых это неравенство не имеет решений.

Проанализируем левую часть неравенства. Обозначим ее как $g(x) = \sqrt{x^2 + 8x + 20}$.

Выделим полный квадрат в подкоренном выражении:

$x^2 + 8x + 20 = (x^2 + 8x + 16) + 4 = (x + 4)^2 + 4$.

Поскольку $(x+4)^2 \ge 0$ для любого $x$, минимальное значение подкоренного выражения $(x+4)^2 + 4$ равно $4$ и достигается при $x=-4$.

Следовательно, минимальное значение левой части неравенства, функции $g(x)$, равно $\sqrt{4} = 2$. Множество значений функции $g(x)$ есть $[2, +\infty)$.

Неравенство $g(x) \le C(a)$ (где $C(a)$ — правая часть) не будет иметь решений, если правая часть $C(a)$ будет строго меньше, чем любое возможное значение левой части $g(x)$. Для этого достаточно, чтобы $C(a)$ было строго меньше минимального значения $g(x)$.

То есть, должно выполняться условие: $\frac{2a^2 - 4a - 3}{a^2 - 2a - 8} < 2$.

Область допустимых значений параметра $a$ та же, что и в пункте а): $a \ne 4$ и $a \ne -2$.

Решим полученное неравенство для $a$:

$\frac{2a^2 - 4a - 3}{a^2 - 2a - 8} - 2 < 0$

$\frac{(2a^2 - 4a - 3) - 2(a^2 - 2a - 8)}{a^2 - 2a - 8} < 0$

$\frac{2a^2 - 4a - 3 - 2a^2 + 4a + 16}{a^2 - 2a - 8} < 0$

$\frac{13}{a^2 - 2a - 8} < 0$

Поскольку числитель $13$ положителен, для выполнения этого неравенства знаменатель должен быть отрицательным:

$a^2 - 2a - 8 < 0$.

Решение этого неравенства, как мы выяснили в пункте а), есть интервал $(-2, 4)$.

При $a \in (-2, 4)$ правая часть исходного неравенства будет строго меньше 2, в то время как левая часть всегда больше или равна 2. Таким образом, неравенство $\sqrt{x^2+8x+20} \le C(a)$ не будет иметь решений.

Ответ: $a \in (-2, 4)$.