Номер 15.45, страница 373 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 15.45, страница 373.

Условие.

15.45* При каких значениях параметра a система уравнений:

a) $y = \frac{2x^2}{x + |x|}$

$(x - 2(a + 2))^2 + (y - a)^2 = 8;$

б) $y = \frac{2\sqrt{3} x^2}{x + |x|}$

$\left(x - \frac{2a + 1}{\sqrt{3}}\right)^2 + (y - a)^2 = 4$

имеет хотя бы одно решение?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Рассмотрим первое уравнение системы: $y = \frac{2x^2}{x + |x|}$.

Знаменатель $x + |x|$ не может быть равен нулю. Это происходит при $x \le 0$. Следовательно, область определения этого уравнения — $x > 0$.

При $x > 0$, $|x| = x$, и уравнение упрощается:

$y = \frac{2x^2}{x + x} = \frac{2x^2}{2x} = x$.

Таким образом, первое уравнение задает луч $y=x$ с началом в точке $(0,0)$ (не включая саму точку), расположенный в первой координатной четверти.

Второе уравнение системы: $(x - 2(a + 2))^2 + (y - a)^2 = 8$.

Это уравнение окружности с центром в точке $C(2(a+2), a)$ и радиусом $R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Система имеет хотя бы одно решение, если окружность пересекает луч $y=x$ при $x>0$.

Подставим $y=x$ в уравнение окружности, чтобы найти точки пересечения:

$(x - 2(a + 2))^2 + (x - a)^2 = 8$

$x^2 - 4(a+2)x + 4(a+2)^2 + x^2 - 2ax + a^2 = 8$

$2x^2 - (4a+8+2a)x + 4(a^2+4a+4) + a^2 - 8 = 0$

$2x^2 - (6a+8)x + 5a^2+16a+8 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$. Система имеет решение, если это уравнение имеет хотя бы один положительный корень ($x>0$).

Найдем дискриминант $D$ этого уравнения:

$D = (-(6a+8))^2 - 4 \cdot 2 \cdot (5a^2+16a+8) = (6a+8)^2 - 8(5a^2+16a+8)$

$D = 36a^2 + 96a + 64 - 40a^2 - 128a - 64 = -4a^2 - 32a = -4a(a+8)$

Для существования действительных корней необходимо, чтобы $D \ge 0$, то есть $-4a(a+8) \ge 0$, или $a(a+8) \le 0$. Это выполняется при $a \in [-8, 0]$.

Теперь выясним, при каких значениях $a$ из этого отрезка существует хотя бы один положительный корень. Легче найти, когда положительных корней нет (т.е. оба корня неположительны: $x_1 \le 0, x_2 \le 0$), а затем исключить эти значения $a$.

По теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = \frac{6a+8}{2} = 3a+4$.

Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{5a^2+16a+8}{2}$.

Для того чтобы оба корня были неположительны, должны выполняться условия: $D \ge 0$, $x_1+x_2 \le 0$ и $x_1x_2 \ge 0$.

1. $D \ge 0 \implies a \in [-8, 0]$.

2. $x_1+x_2 \le 0 \implies 3a+4 \le 0 \implies a \le -4/3$.

3. $x_1x_2 \ge 0 \implies 5a^2+16a+8 \ge 0$. Корни квадратного трехчлена $5a^2+16a+8=0$ равны $a = \frac{-16 \pm \sqrt{256-160}}{10} = \frac{-16 \pm \sqrt{96}}{10} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{6}}{5}$. Таким образом, неравенство выполняется при $a \in (-\infty, \frac{-8-2\sqrt{6}}{5}] \cup [\frac{-8+2\sqrt{6}}{5}, \infty)$.

Найдем пересечение этих трех условий. Пересечение первых двух ($a \in [-8, 0]$ и $a \le -4/3$) дает $a \in [-8, -4/3]$.

Теперь пересечем этот результат с третьим условием. Учитывая, что $\frac{-8-2\sqrt{6}}{5} \approx -2.58$ и $\frac{-8+2\sqrt{6}}{5} \approx -0.62$, а $-4/3 \approx -1.33$, получаем:

$a \in [-8, -4/3] \cap ((-\infty, \frac{-8-2\sqrt{6}}{5}] \cup [\frac{-8+2\sqrt{6}}{5}, \infty)) = [-8, \frac{-8-2\sqrt{6}}{5}]$.

Итак, при $a \in [-8, \frac{-8-2\sqrt{6}}{5}]$ у уравнения нет положительных корней. Система будет иметь хотя бы одно решение, если $a$ принадлежит отрезку $[-8, 0]$, но не принадлежит найденному множеству.

$a \in [-8, 0] \setminus [-8, \frac{-8-2\sqrt{6}}{5}] = (\frac{-8-2\sqrt{6}}{5}, 0]$.

Ответ: $a \in (\frac{-8-2\sqrt{6}}{5}, 0]$.

б)

Аналогично пункту а), рассмотрим первое уравнение: $y = \frac{2\sqrt{3} x^2}{x + |x|}$.

Область определения: $x > 0$. При $x > 0$ уравнение принимает вид:

$y = \frac{2\sqrt{3} x^2}{2x} = \sqrt{3}x$.

Это луч $y=\sqrt{3}x$ при $x>0$, исходящий из начала координат под углом $60^\circ$ к оси Ox.

Второе уравнение — это уравнение окружности $\left(x - \frac{2a+1}{\sqrt{3}}\right)^2 + (y - a)^2 = 4$ с центром в точке $C(\frac{2a+1}{\sqrt{3}}, a)$ и радиусом $R = 2$.

Система имеет решение, если окружность пересекает луч $y=\sqrt{3}x$ при $x>0$. Подставим $y=\sqrt{3}x$ в уравнение окружности:

$\left(x - \frac{2a+1}{\sqrt{3}}\right)^2 + (\sqrt{3}x - a)^2 = 4$

$x^2 - \frac{2(2a+1)}{\sqrt{3}}x + \frac{(2a+1)^2}{3} + 3x^2 - 2a\sqrt{3}x + a^2 = 4$

$4x^2 - \left(\frac{2(2a+1)}{\sqrt{3}} + 2a\sqrt{3}\right)x + \frac{4a^2+4a+1}{3} + a^2 - 4 = 0$

$4x^2 - \frac{2(5a+1)}{\sqrt{3}}x + \frac{7a^2+4a-11}{3} = 0$

Система имеет решение, если это квадратное уравнение имеет хотя бы один положительный корень.

Дискриминант $D$ (точнее, $D/4$):

$D/4 = \left(-\frac{5a+1}{\sqrt{3}}\right)^2 - 4 \cdot \frac{7a^2+4a-11}{3} = \frac{(5a+1)^2}{3} - \frac{4(7a^2+4a-11)}{3}$

$D/4 = \frac{1}{3} (25a^2+10a+1 - 28a^2-16a+44) = \frac{1}{3}(-3a^2-6a+45) = -(a^2+2a-15)$

Для существования действительных корней нужно $D \ge 0$, то есть $-(a^2+2a-15) \ge 0$, что эквивалентно $a^2+2a-15 \le 0$. Корни $a^2+2a-15=0$ это $a=-5$ и $a=3$. Следовательно, $a \in [-5, 3]$.

Снова найдем, при каких $a$ из этого отрезка нет положительных корней. Используем теорему Виета:

Сумма корней: $x_1+x_2 = \frac{2(5a+1)/\sqrt{3}}{4} = \frac{5a+1}{2\sqrt{3}}$.

Произведение корней: $x_1x_2 = \frac{(7a^2+4a-11)/3}{4} = \frac{7a^2+4a-11}{12}$.

Условия отсутствия положительных корней ($x_1 \le 0, x_2 \le 0$): $D \ge 0$, $x_1+x_2 \le 0$, $x_1x_2 \ge 0$.

1. $D \ge 0 \implies a \in [-5, 3]$.

2. $x_1+x_2 \le 0 \implies \frac{5a+1}{2\sqrt{3}} \le 0 \implies 5a+1 \le 0 \implies a \le -1/5$.

3. $x_1x_2 \ge 0 \implies 7a^2+4a-11 \ge 0$. Корни уравнения $7a^2+4a-11=0$ равны $a_1=\frac{-4-18}{14}=-\frac{11}{7}$ и $a_2=\frac{-4+18}{14}=1$. Неравенство выполняется при $a \in (-\infty, -11/7] \cup [1, \infty)$.

Объединяя все три условия: $a \in [-5, 3] \cap (-\infty, -1/5] \cap ((-\infty, -11/7] \cup [1, \infty))$.

Пересечение первых двух: $a \in [-5, -1/5]$.

Пересечение с третьим: $a \in [-5, -1/5] \cap ((-\infty, -11/7] \cup [1, \infty)) = [-5, -11/7]$.

Итак, при $a \in [-5, -11/7]$ положительных корней нет. Система имеет хотя бы одно решение, если $a$ принадлежит множеству $[-5, 3] \setminus [-5, -11/7]$.

$a \in (-11/7, 3]$.

Ответ: $a \in (-11/7, 3]$.