Номер 16.7, страница 383 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел - номер 16.7, страница 383.

Условие.

16.7 Что называют суммой комплексных чисел $a + bi$ и $c + di$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Суммой двух комплексных чисел $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$, где $a, b, c, d$ — действительные числа, а $i$ — мнимая единица ($i^2 = -1$), называется комплексное число, действительная часть которого равна сумме действительных частей исходных чисел, а мнимая часть — сумме их мнимых частей.

Чтобы найти сумму, необходимо выполнить сложение действительных и мнимых частей по отдельности. Алгебраически это выглядит как сложение многочленов, где $i$ выступает в роли переменной:
$(a + bi) + (c + di) = a + bi + c + di$
Далее мы группируем действительные слагаемые $(a \text{ и } c)$ и мнимые слагаемые $(bi \text{ и } di)$:
$(a + c) + (bi + di)$
И выносим мнимую единицу $i$ за скобки:
$(a + c) + (b + d)i$

Таким образом, итоговая формула для сложения двух комплексных чисел:
$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$

Пример:
Найдем сумму комплексных чисел $3 + 5i$ и $4 - 2i$.
$(3 + 5i) + (4 - 2i) = (3 + 4) + (5 - 2)i = 7 + 3i$.

Геометрическая интерпретация:
На комплексной плоскости каждое комплексное число $z = x + yi$ можно представить в виде вектора, идущего из начала координат $(0,0)$ в точку $(x,y)$. Сложение двух комплексных чисел геометрически соответствует сложению их векторов по правилу параллелограмма. Координаты результирующего вектора будут равны суммам соответствующих координат исходных векторов, что и дает нам действительную и мнимую части суммы комплексных чисел.

Ответ: Суммой комплексных чисел $a + bi$ и $c + di$ называют комплексное число $(a + c) + (b + d)i$.