Номер 16.14, страница 383 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 16.14, страница 383.

Условие.

16.14 Что называют частным от деления комплексного числа $z_1 = a_1 + b_1i$ на комплексное число $z_2 = a_2 + b_2i (z_2 \neq 0 + 0i)$? Докажите, что для любых комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ их частное $\frac{z_1}{z_2}$ существует и единственно.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Что называют частным от деления комплексного числа $z_1 = a_1 + b_1i$ на комплексное число $z_2 = a_2 + b_2i$ ($z_2 \neq 0 + 0i$)?

Частным от деления комплексного числа $z_1$ на ненулевое комплексное число $z_2$ называют такое комплексное число $z$, которое удовлетворяет уравнению $z \cdot z_2 = z_1$. Это частное обозначается как $\frac{z_1}{z_2}$.

Для практического нахождения этого числа, как правило, числитель и знаменатель дроби $\frac{z_1}{z_2}$ умножают на число, комплексно-сопряженное знаменателю, $\bar{z_2} = a_2 - b_2i$. Это позволяет избавиться от мнимой единицы в знаменателе.

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 + b_1i}{a_2 + b_2i} = \frac{(a_1 + b_1i)(a_2 - b_2i)}{(a_2 + b_2i)(a_2 - b_2i)} = \frac{a_1a_2 - a_1b_2i + b_1a_2i - b_1b_2i^2}{a_2^2 - (b_2i)^2} = \frac{(a_1a_2 + b_1b_2) + (a_2b_1 - a_1b_2)i}{a_2^2 + b_2^2}$

В результате получается формула для частного:

$z = \frac{a_1a_2 + b_1b_2}{a_2^2 + b_2^2} + i \frac{a_2b_1 - a_1b_2}{a_2^2 + b_2^2}$

Ответ: Частным от деления комплексного числа $z_1$ на ненулевое комплексное число $z_2$ называют комплексное число $z$ такое, что $z \cdot z_2 = z_1$.

Докажите, что для любых комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ их частное $\frac{z_1}{z_2}$ существует и единственно.

Пусть даны два комплексных числа $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$, причем $z_2 \neq 0 + 0i$. Нам нужно доказать, что существует, и притом единственное, комплексное число $z = x + yi$ (где $x$ и $y$ — действительные числа), такое, что $z \cdot z_2 = z_1$.

Запишем это равенство в развернутом виде:

$(x + yi)(a_2 + b_2i) = a_1 + b_1i$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя правила умножения комплексных чисел:

$xa_2 + xb_2i + ya_2i + yb_2i^2 = a_1 + b_1i$

Так как $i^2 = -1$, сгруппируем действительную и мнимую части:

$(xa_2 - yb_2) + (xb_2 + ya_2)i = a_1 + b_1i$

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Приравнивая их, получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными $x$ и $y$:

$\begin{cases} a_2x - b_2y = a_1 \\ b_2x + a_2y = b_1 \end{cases}$

Существование и единственность решения этой системы для $x$ и $y$ эквивалентно существованию и единственности частного $z = x + yi$. Решение системы линейных уравнений существует и единственно, если определитель (детерминант) ее основной матрицы коэффициентов отличен от нуля.

Найдем этот определитель:

$\Delta = \begin{vmatrix} a_2 & -b_2 \\ b_2 & a_2 \end{vmatrix} = a_2 \cdot a_2 - (-b_2) \cdot b_2 = a_2^2 + b_2^2$

По условию, $z_2 = a_2 + b_2i \neq 0$. Это означает, что действительные числа $a_2$ и $b_2$ не равны нулю одновременно. Поскольку $a_2$ и $b_2$ — действительные числа, то $a_2^2 \ge 0$ и $b_2^2 \ge 0$. Если хотя бы одно из них не равно нулю, то их сумма квадратов будет строго больше нуля: $a_2^2 + b_2^2 > 0$.

Следовательно, определитель системы $\Delta = a_2^2 + b_2^2 \neq 0$.

Так как определитель системы не равен нулю, система имеет единственное решение для $x$ и $y$. Это доказывает, что существует единственное комплексное число $z = x + yi$, которое является частным от деления $z_1$ на $z_2$. Таким образом, существование и единственность частного доказаны.

Ответ: Существование и единственность частного $\frac{z_1}{z_2}$ (при $z_2 \neq 0$) следует из того, что задача его нахождения сводится к решению системы двух линейных уравнений относительно действительной и мнимой частей искомого числа. Определитель этой системы равен $a_2^2 + b_2^2$, что отлично от нуля, поскольку $z_2 \neq 0$. Это гарантирует существование единственного решения системы, а значит, и единственность частного.