Номер 16.20, страница 383 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел - номер 16.20, страница 383.

Условие.

16.20 a) $(3 + i)^2 + (3 - i)^2;$

В) $(-5 + i)^2 - (5 - i)^2;$

Д) $(3 + i)^3 + (3 - i)^3;$

б) $(3 - 2i)^2 - (3 + 2i)^2;$

Г) $(6 + i)^2 - (-6 + i)^2;$

е) $(1 - 2i)^3 - (1 + 2i)^3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $(3 + i)^2 + (3 - i)^2$

Для решения этого примера воспользуемся формулой квадрата суммы и квадрата разности для комплексных чисел. Напомним, что $i^2 = -1$.

Раскроем каждую скобку отдельно:

$(3 + i)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot i + i^2 = 9 + 6i - 1 = 8 + 6i$

$(3 - i)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot i + i^2 = 9 - 6i - 1 = 8 - 6i$

Теперь сложим полученные результаты:

$(8 + 6i) + (8 - 6i) = 8 + 8 + 6i - 6i = 16$

Альтернативно, можно было использовать алгебраическое тождество $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2+b^2)$. При $a=3$ и $b=i$ получаем: $2(3^2 + i^2) = 2(9 - 1) = 2 \cdot 8 = 16$.

Ответ: 16

б) $(3 - 2i)^2 - (3 + 2i)^2$

Здесь удобнее всего применить формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Пусть $a = 3 - 2i$ и $b = 3 + 2i$.

Найдем разность и сумму этих чисел:

$a - b = (3 - 2i) - (3 + 2i) = 3 - 2i - 3 - 2i = -4i$

$a + b = (3 - 2i) + (3 + 2i) = 3 + 3 - 2i + 2i = 6$

Теперь перемножим полученные значения:

$(a - b)(a + b) = (-4i) \cdot 6 = -24i$

Ответ: -24i

в) $(-5 + i)^2 - (5 - i)^2$

Обратим внимание на первое слагаемое: $(-5 + i)$. Его можно представить как $-(5 - i)$.

Тогда исходное выражение примет вид:

$(-(5 - i))^2 - (5 - i)^2$

Поскольку квадрат отрицательного числа равен квадрату самого числа, то есть $(-x)^2 = x^2$, получаем:

$(5 - i)^2 - (5 - i)^2 = 0$

Ответ: 0

г) $(6 + i)^2 - (-6 + i)^2$

Снова используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Пусть $a = 6 + i$ и $b = -6 + i$.

Найдем их разность и сумму:

$a - b = (6 + i) - (-6 + i) = 6 + i + 6 - i = 12$

$a + b = (6 + i) + (-6 + i) = 6 + i - 6 + i = 2i$

Перемножим результаты:

$(a - b)(a + b) = 12 \cdot (2i) = 24i$

Ответ: 24i

д) $(3 + i)^3 + (3 - i)^3$

Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Пусть $a = 3 + i$ и $b = 3 - i$.

Найдем необходимые компоненты формулы:

$a + b = (3 + i) + (3 - i) = 6$

$ab = (3 + i)(3 - i) = 3^2 - i^2 = 9 - (-1) = 10$

$a^2 = (3 + i)^2 = 3^2 + 6i + i^2 = 9 + 6i - 1 = 8 + 6i$

$b^2 = (3 - i)^2 = 3^2 - 6i + i^2 = 9 - 6i - 1 = 8 - 6i$

Подставим значения в множитель $(a^2 - ab + b^2)$:

$(8 + 6i) - 10 + (8 - 6i) = 8 - 10 + 8 = 6$

Теперь вычислим итоговое значение:

$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = 6 \cdot 6 = 36$

Ответ: 36

е) $(1 - 2i)^3 - (1 + 2i)^3$

Применим формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Пусть $a = 1 - 2i$ и $b = 1 + 2i$.

Найдем необходимые компоненты:

$a - b = (1 - 2i) - (1 + 2i) = 1 - 2i - 1 - 2i = -4i$

$ab = (1 - 2i)(1 + 2i) = 1^2 - (2i)^2 = 1 - 4i^2 = 1 - 4(-1) = 5$

$a^2 = (1 - 2i)^2 = 1^2 - 4i + (2i)^2 = 1 - 4i - 4 = -3 - 4i$

$b^2 = (1 + 2i)^2 = 1^2 + 4i + (2i)^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i$

Подставим значения в множитель $(a^2 + ab + b^2)$:

$(-3 - 4i) + 5 + (-3 + 4i) = -3 + 5 - 3 = -1$

Вычислим итоговое значение:

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = (-4i) \cdot (-1) = 4i$

Ответ: 4i