Номер 16.27, страница 384 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 16.27, страница 384.

Условие.

16.27 Для какого действительного числа $x$ выражение $(x + 2i)^2 + (5 + x)i$ является:

а) действительным числом;

б) мнимым числом?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Сначала упростим данное выражение $Z = (x + 2i)^2 + (5 + x)i$, где $x$ — действительное число. Представим его в стандартной алгебраической форме $a + bi$.

Раскроем квадрат: $(x + 2i)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2i + (2i)^2 = x^2 + 4xi + 4i^2$.

Так как $i^2 = -1$, то выражение примет вид: $x^2 + 4xi - 4$.

Подставим результат в исходное выражение:

$Z = (x^2 + 4xi - 4) + 5i + xi$

Сгруппируем действительную (не содержащую $i$) и мнимую (содержащую $i$) части:

$Z = (x^2 - 4) + (4x + 5 + x)i = (x^2 - 4) + (5x + 5)i$

Таким образом, действительная часть выражения $Re(Z) = x^2 - 4$, а мнимая часть $Im(Z) = 5x + 5$.

а) действительным числом;

Выражение является действительным числом, когда его мнимая часть равна нулю.

Приравняем мнимую часть к нулю:

$Im(Z) = 5x + 5 = 0$

$5x = -5$

$x = -1$

Ответ: при $x = -1$.

б) мнимым числом?

Выражение является чисто мнимым числом, когда его действительная часть равна нулю, а мнимая часть не равна нулю.

Приравняем действительную часть к нулю:

$Re(Z) = x^2 - 4 = 0$

$x^2 = 4$

Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Необходимо проверить, что при этих значениях $x$ мнимая часть не обращается в ноль:

Если $x = 2$, то $Im(Z) = 5(2) + 5 = 15 \neq 0$.

Если $x = -2$, то $Im(Z) = 5(-2) + 5 = -5 \neq 0$.

Оба значения подходят.

Ответ: при $x = 2$ или $x = -2$.