Номер 16.29, страница 384 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел - номер 16.29, страница 384.

Условие.

16.29 Определите все пары $(x; y)$ действительных чисел $x$ и $y$, для каждой из которых выполняется равенство:

a) $(2 + xi)^3 = -46 + yi;$

б) $(y + 5i)(2y + 3i) = x - xi.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a) Раскроем левую часть равенства $(2 + xi)^3 = -46 + yi$, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
$(2 + xi)^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot (xi) + 3 \cdot 2 \cdot (xi)^2 + (xi)^3 = 8 + 12xi + 6x^2i^2 + x^3i^3$.
Учитывая, что $i^2 = -1$ и $i^3 = -i$, преобразуем выражение:
$8 + 12xi - 6x^2 - x^3i = (8 - 6x^2) + (12x - x^3)i$.
Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Приравняем их к частям выражения $-46 + yi$ и составим систему уравнений:
$\begin{cases} 8 - 6x^2 = -46 \\ 12x - x^3 = y \end{cases}$
Из первого уравнения находим $x$:
$-6x^2 = -46 - 8 \implies -6x^2 = -54 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.
Подставим найденные значения $x$ во второе уравнение:
1) Если $x = 3$, то $y = 12(3) - 3^3 = 36 - 27 = 9$. Получаем пару $(3; 9)$.
2) Если $x = -3$, то $y = 12(-3) - (-3)^3 = -36 - (-27) = -9$. Получаем пару $(-3; -9)$.
Ответ: $(3; 9)$, $(-3; -9)$.

б) Раскроем скобки в левой части равенства $(y + 5i)(2y + 3i) = x - xi$:
$(y + 5i)(2y + 3i) = y \cdot 2y + y \cdot 3i + 5i \cdot 2y + 5i \cdot 3i = 2y^2 + 3yi + 10yi + 15i^2$.
Учитывая, что $i^2 = -1$, преобразуем выражение:
$2y^2 + 13yi - 15 = (2y^2 - 15) + 13yi$.
Приравняем действительные и мнимые части к частям выражения $x - xi = x + (-x)i$ и составим систему уравнений:
$\begin{cases} 2y^2 - 15 = x \\ 13y = -x \end{cases}$
Подставим $x = -13y$ из второго уравнения в первое:
$2y^2 - 15 = -13y$.
Перепишем в виде стандартного квадратного уравнения:
$2y^2 + 13y - 15 = 0$.
Решим его. Дискриминант $D = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 169 + 120 = 289 = 17^2$.
Корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{-13 + 17}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
$y_2 = \frac{-13 - 17}{2 \cdot 2} = \frac{-30}{4} = -\frac{15}{2}$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$ из уравнения $x = -13y$:
1) Если $y = 1$, то $x = -13(1) = -13$. Получаем пару $(-13; 1)$.
2) Если $y = -\frac{15}{2}$, то $x = -13(-\frac{15}{2}) = \frac{195}{2}$. Получаем пару $(\frac{195}{2}; -\frac{15}{2})$.
Ответ: $(-13; 1)$, $(\frac{195}{2}; -\frac{15}{2})$.