Номер 16.36, страница 386 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел - номер 16.36, страница 386.

Условие.

16.36 Упростите выражение:

а) $\frac{1+2i}{3+4i} - \frac{1-2i}{3-4i}$;

б) $\frac{3+2i}{12-5i} + \frac{3-2i}{12+5i}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Чтобы упростить выражение, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — это произведение знаменателей данных дробей: $(3+4i)(3-4i)$.

Знаменатели являются комплексно-сопряженными числами. Их произведение вычисляется по формуле $(a+bi)(a-bi) = a^2+b^2$.

$(3+4i)(3-4i) = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{1+2i}{3+4i} - \frac{1-2i}{3-4i} = \frac{(1+2i)(3-4i) - (1-2i)(3+4i)}{(3+4i)(3-4i)}$

Раскроем скобки в числителе. Вспомним, что мнимая единица $i$ в квадрате равна -1 ($i^2 = -1$).

Вычислим первое произведение в числителе:

$(1+2i)(3-4i) = 1 \cdot 3 - 1 \cdot 4i + 2i \cdot 3 - 2i \cdot 4i = 3 - 4i + 6i - 8i^2 = 3 + 2i - 8(-1) = 3 + 2i + 8 = 11 + 2i$

Вычислим второе произведение в числителе:

$(1-2i)(3+4i) = 1 \cdot 3 + 1 \cdot 4i - 2i \cdot 3 - 2i \cdot 4i = 3 + 4i - 6i - 8i^2 = 3 - 2i - 8(-1) = 3 - 2i + 8 = 11 - 2i$

Теперь подставим полученные выражения в числитель дроби и упростим:

$(11+2i) - (11-2i) = 11 + 2i - 11 + 2i = 4i$

В итоге получаем:

$\frac{4i}{25}$

Ответ: $\frac{4i}{25}$

б)

Чтобы упростить выражение, приведем дроби к общему знаменателю: $(12-5i)(12+5i)$.

Знаменатели являются комплексно-сопряженными числами. Их произведение вычисляется по формуле $(a-bi)(a+bi) = a^2+b^2$.

$(12-5i)(12+5i) = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение:

$\frac{3+2i}{12-5i} + \frac{3-2i}{12+5i} = \frac{(3+2i)(12+5i) + (3-2i)(12-5i)}{(12-5i)(12+5i)}$

Раскроем скобки в числителе. Вспомним, что $i^2 = -1$.

Вычислим первое произведение в числителе:

$(3+2i)(12+5i) = 3 \cdot 12 + 3 \cdot 5i + 2i \cdot 12 + 2i \cdot 5i = 36 + 15i + 24i + 10i^2 = 36 + 39i - 10 = 26 + 39i$

Вычислим второе произведение в числителе:

$(3-2i)(12-5i) = 3 \cdot 12 - 3 \cdot 5i - 2i \cdot 12 + 2i \cdot 5i = 36 - 15i - 24i + 10i^2 = 36 - 39i - 10 = 26 - 39i$

Теперь подставим полученные выражения в числитель дроби и упростим:

$(26 + 39i) + (26 - 39i) = 26 + 39i + 26 - 39i = 52$

В итоге получаем дробь:

$\frac{52}{169}$

Сократим эту дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 13:

$52 = 4 \cdot 13$

$169 = 13 \cdot 13$

$\frac{52}{169} = \frac{4 \cdot 13}{13 \cdot 13} = \frac{4}{13}$

Ответ: $\frac{4}{13}$