Номер 16.42, страница 390 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 16.42, страница 390.

Условие.

16.42° Что называют комплексной плоскостью?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Комплексная плоскость (также известная как плоскость Аргана или плоскость Гаусса) — это способ геометрического представления множества комплексных чисел. Она представляет собой обычную двумерную плоскость с введенной на ней прямоугольной (декартовой) системой координат.

Ключевая идея состоит в установлении взаимно-однозначного соответствия между каждым комплексным числом вида $z = a + bi$ и точкой на плоскости с координатами $(a, b)$.

Оси этой координатной системы имеют специальные названия:

• Действительная (вещественная) ось: Это горизонтальная ось координат (ось абсцисс, $Ox$). На ней откладывается действительная часть комплексного числа, $a = \text{Re}(z)$.
• Мнимая ось: Это вертикальная ось координат (ось ординат, $Oy$). На ней откладывается мнимая часть комплексного числа, $b = \text{Im}(z)$.

Таким образом, любое комплексное число $z = a + bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа, а $i$ — мнимая единица ($i^2 = -1$), изображается на комплексной плоскости как точка $M$ с координатами $(a, b)$. Также это число можно представить в виде радиус-вектора $\vec{OM}$, проведенного из начала координат $O(0, 0)$ в точку $M(a, b)$.

Например, комплексное число $z = 2 + 3i$ будет представлено точкой с координатами $(2, 3)$. Чисто действительное число, например $z = -4$ (т.е. $-4 + 0i$), будет лежать на действительной оси в точке $(-4, 0)$. Чисто мнимое число, например $z = i$ (т.е. $0 + 1i$), будет лежать на мнимой оси в точке $(0, 1)$.

Такое геометрическое представление очень полезно, так как оно позволяет наглядно интерпретировать алгебраические операции с комплексными числами (сложение, умножение и др.) как геометрические преобразования на плоскости (параллельные переносы, повороты, растяжения).

Ответ: Комплексной плоскостью называют плоскость с прямоугольной системой координат, предназначенную для геометрического изображения комплексных чисел. Горизонтальную ось (ось абсцисс) называют действительной осью, а вертикальную (ось ординат) — мнимой осью. Каждому комплексному числу $z = a + bi$ ставится в соответствие точка с координатами $(a, b)$ на этой плоскости.