Номер 16.37, страница 386 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел - номер 16.37, страница 386.

Условие.

16.37 Найдите пару комплексных чисел $z$ и $u$, для которой выполняются соотношения:

a) $2\bar{z} + u = 11i$ и $2z - 3\bar{u}i = 17$;

б) $3\bar{z} - 2\bar{u} = 1$ и $\bar{z} - iu = -6i$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дана система уравнений для комплексных чисел $z$ и $u$:

$2\bar{z} + u = 11i \quad (1)$

$2z - 3\bar{u}i = 17 \quad (2)$

Из первого уравнения выразим $u$:

$u = 11i - 2\bar{z}$

Теперь найдем комплексно-сопряженное к $u$. Для этого применим операцию сопряжения ко всему выражению, помня, что $\overline{z_1 - z_2} = \bar{z_1} - \bar{z_2}$, $\overline{k \cdot z} = k \cdot \bar{z}$ для действительного $k$, $\overline{\bar{z}} = z$ и $\overline{i} = -i$.

$\bar{u} = \overline{11i - 2\bar{z}} = \overline{11i} - \overline{2\bar{z}} = -11i - 2z$

Подставим полученное выражение для $\bar{u}$ во второе уравнение системы:

$2z - 3(-11i - 2z)i = 17$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $z$:

$2z - (-33i^2 - 6zi) = 17$

$2z - (33 - 6zi) = 17$

$2z - 33 + 6zi = 17$

$2z + 6zi = 17 + 33$

$z(2 + 6i) = 50$

$z = \frac{50}{2 + 6i}$

Для упрощения дроби умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $2 - 6i$:

$z = \frac{50(2 - 6i)}{(2 + 6i)(2 - 6i)} = \frac{100 - 300i}{2^2 + 6^2} = \frac{100 - 300i}{4 + 36} = \frac{100 - 300i}{40} = \frac{10}{4} - \frac{30}{4}i = \frac{5}{2} - \frac{15}{2}i$

Теперь, зная $z$, найдем $u$. Сначала найдем $\bar{z}$:

$\bar{z} = \overline{\frac{5}{2} - \frac{15}{2}i} = \frac{5}{2} + \frac{15}{2}i$

Подставим $\bar{z}$ в выражение для $u$:

$u = 11i - 2\bar{z} = 11i - 2\left(\frac{5}{2} + \frac{15}{2}i\right) = 11i - (5 + 15i) = 11i - 5 - 15i = -5 - 4i$

Ответ: $z = \frac{5}{2} - \frac{15}{2}i$, $u = -5 - 4i$.

б)

Дана система уравнений:

$3\bar{z} - 2\bar{u} = 1 \quad (1)$

$z - iu = -6i \quad (2)$

Из второго уравнения выразим $z$:

$z = iu - 6i = i(u - 6)$

Найдем комплексно-сопряженное к $z$:

$\bar{z} = \overline{i(u - 6)} = \bar{i} \cdot \overline{(u - 6)} = -i(\bar{u} - 6) = -i\bar{u} + 6i$

Подставим полученное выражение для $\bar{z}$ в первое уравнение системы:

$3(-i\bar{u} + 6i) - 2\bar{u} = 1$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $\bar{u}$:

$-3i\bar{u} + 18i - 2\bar{u} = 1$

Сгруппируем члены с $\bar{u}$:

$\bar{u}(-2 - 3i) = 1 - 18i$

$\bar{u} = \frac{1 - 18i}{-2 - 3i}$

Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $-2 + 3i$:

$\bar{u} = \frac{(1 - 18i)(-2 + 3i)}{(-2 - 3i)(-2 + 3i)} = \frac{1(-2) + 1(3i) - 18i(-2) - 18i(3i)}{(-2)^2 + (-3)^2} = \frac{-2 + 3i + 36i - 54i^2}{4 + 9} = \frac{-2 + 39i + 54}{13} = \frac{52 + 39i}{13}$

$\bar{u} = \frac{52}{13} + \frac{39}{13}i = 4 + 3i$

Отсюда находим $u$, взяв сопряженное к $\bar{u}$:

$u = \overline{4 + 3i} = 4 - 3i$

Теперь найдем $z$, подставив $u$ в выражение для $z$:

$z = i(u - 6) = i((4 - 3i) - 6) = i(-2 - 3i) = -2i - 3i^2 = -2i + 3 = 3 - 2i$

Ответ: $z = 3 - 2i$, $u = 4 - 3i$.