Страница 386 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

16.36 Упростите выражение:

а) $\frac{1+2i}{3+4i} - \frac{1-2i}{3-4i}$;

б) $\frac{3+2i}{12-5i} + \frac{3-2i}{12+5i}$.

а)

Чтобы упростить выражение, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — это произведение знаменателей данных дробей: $(3+4i)(3-4i)$.

Знаменатели являются комплексно-сопряженными числами. Их произведение вычисляется по формуле $(a+bi)(a-bi) = a^2+b^2$.

$(3+4i)(3-4i) = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{1+2i}{3+4i} - \frac{1-2i}{3-4i} = \frac{(1+2i)(3-4i) - (1-2i)(3+4i)}{(3+4i)(3-4i)}$

Раскроем скобки в числителе. Вспомним, что мнимая единица $i$ в квадрате равна -1 ($i^2 = -1$).

Вычислим первое произведение в числителе:

$(1+2i)(3-4i) = 1 \cdot 3 - 1 \cdot 4i + 2i \cdot 3 - 2i \cdot 4i = 3 - 4i + 6i - 8i^2 = 3 + 2i - 8(-1) = 3 + 2i + 8 = 11 + 2i$

Вычислим второе произведение в числителе:

$(1-2i)(3+4i) = 1 \cdot 3 + 1 \cdot 4i - 2i \cdot 3 - 2i \cdot 4i = 3 + 4i - 6i - 8i^2 = 3 - 2i - 8(-1) = 3 - 2i + 8 = 11 - 2i$

Теперь подставим полученные выражения в числитель дроби и упростим:

$(11+2i) - (11-2i) = 11 + 2i - 11 + 2i = 4i$

В итоге получаем:

$\frac{4i}{25}$

Ответ: $\frac{4i}{25}$

б)

Чтобы упростить выражение, приведем дроби к общему знаменателю: $(12-5i)(12+5i)$.

Знаменатели являются комплексно-сопряженными числами. Их произведение вычисляется по формуле $(a-bi)(a+bi) = a^2+b^2$.

$(12-5i)(12+5i) = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение:

$\frac{3+2i}{12-5i} + \frac{3-2i}{12+5i} = \frac{(3+2i)(12+5i) + (3-2i)(12-5i)}{(12-5i)(12+5i)}$

Раскроем скобки в числителе. Вспомним, что $i^2 = -1$.

Вычислим первое произведение в числителе:

$(3+2i)(12+5i) = 3 \cdot 12 + 3 \cdot 5i + 2i \cdot 12 + 2i \cdot 5i = 36 + 15i + 24i + 10i^2 = 36 + 39i - 10 = 26 + 39i$

Вычислим второе произведение в числителе:

$(3-2i)(12-5i) = 3 \cdot 12 - 3 \cdot 5i - 2i \cdot 12 + 2i \cdot 5i = 36 - 15i - 24i + 10i^2 = 36 - 39i - 10 = 26 - 39i$

Теперь подставим полученные выражения в числитель дроби и упростим:

$(26 + 39i) + (26 - 39i) = 26 + 39i + 26 - 39i = 52$

В итоге получаем дробь:

$\frac{52}{169}$

Сократим эту дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 13:

$52 = 4 \cdot 13$

$169 = 13 \cdot 13$

$\frac{52}{169} = \frac{4 \cdot 13}{13 \cdot 13} = \frac{4}{13}$

Ответ: $\frac{4}{13}$

16.37 Найдите пару комплексных чисел $z$ и $u$, для которой выполняются соотношения:

a) $2\bar{z} + u = 11i$ и $2z - 3\bar{u}i = 17$;

б) $3\bar{z} - 2\bar{u} = 1$ и $\bar{z} - iu = -6i$.

а)

Дана система уравнений для комплексных чисел $z$ и $u$:

$2\bar{z} + u = 11i \quad (1)$

$2z - 3\bar{u}i = 17 \quad (2)$

Из первого уравнения выразим $u$:

$u = 11i - 2\bar{z}$

Теперь найдем комплексно-сопряженное к $u$. Для этого применим операцию сопряжения ко всему выражению, помня, что $\overline{z_1 - z_2} = \bar{z_1} - \bar{z_2}$, $\overline{k \cdot z} = k \cdot \bar{z}$ для действительного $k$, $\overline{\bar{z}} = z$ и $\overline{i} = -i$.

$\bar{u} = \overline{11i - 2\bar{z}} = \overline{11i} - \overline{2\bar{z}} = -11i - 2z$

Подставим полученное выражение для $\bar{u}$ во второе уравнение системы:

$2z - 3(-11i - 2z)i = 17$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $z$:

$2z - (-33i^2 - 6zi) = 17$

$2z - (33 - 6zi) = 17$

$2z - 33 + 6zi = 17$

$2z + 6zi = 17 + 33$

$z(2 + 6i) = 50$

$z = \frac{50}{2 + 6i}$

Для упрощения дроби умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $2 - 6i$:

$z = \frac{50(2 - 6i)}{(2 + 6i)(2 - 6i)} = \frac{100 - 300i}{2^2 + 6^2} = \frac{100 - 300i}{4 + 36} = \frac{100 - 300i}{40} = \frac{10}{4} - \frac{30}{4}i = \frac{5}{2} - \frac{15}{2}i$

Теперь, зная $z$, найдем $u$. Сначала найдем $\bar{z}$:

$\bar{z} = \overline{\frac{5}{2} - \frac{15}{2}i} = \frac{5}{2} + \frac{15}{2}i$

Подставим $\bar{z}$ в выражение для $u$:

$u = 11i - 2\bar{z} = 11i - 2\left(\frac{5}{2} + \frac{15}{2}i\right) = 11i - (5 + 15i) = 11i - 5 - 15i = -5 - 4i$

Ответ: $z = \frac{5}{2} - \frac{15}{2}i$, $u = -5 - 4i$.

б)

Дана система уравнений:

$3\bar{z} - 2\bar{u} = 1 \quad (1)$

$z - iu = -6i \quad (2)$

Из второго уравнения выразим $z$:

$z = iu - 6i = i(u - 6)$

Найдем комплексно-сопряженное к $z$:

$\bar{z} = \overline{i(u - 6)} = \bar{i} \cdot \overline{(u - 6)} = -i(\bar{u} - 6) = -i\bar{u} + 6i$

Подставим полученное выражение для $\bar{z}$ в первое уравнение системы:

$3(-i\bar{u} + 6i) - 2\bar{u} = 1$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $\bar{u}$:

$-3i\bar{u} + 18i - 2\bar{u} = 1$

Сгруппируем члены с $\bar{u}$:

$\bar{u}(-2 - 3i) = 1 - 18i$

$\bar{u} = \frac{1 - 18i}{-2 - 3i}$

Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $-2 + 3i$:

$\bar{u} = \frac{(1 - 18i)(-2 + 3i)}{(-2 - 3i)(-2 + 3i)} = \frac{1(-2) + 1(3i) - 18i(-2) - 18i(3i)}{(-2)^2 + (-3)^2} = \frac{-2 + 3i + 36i - 54i^2}{4 + 9} = \frac{-2 + 39i + 54}{13} = \frac{52 + 39i}{13}$

$\bar{u} = \frac{52}{13} + \frac{39}{13}i = 4 + 3i$

Отсюда находим $u$, взяв сопряженное к $\bar{u}$:

$u = \overline{4 + 3i} = 4 - 3i$

Теперь найдем $z$, подставив $u$ в выражение для $z$:

$z = i(u - 6) = i((4 - 3i) - 6) = i(-2 - 3i) = -2i - 3i^2 = -2i + 3 = 3 - 2i$

Ответ: $z = 3 - 2i$, $u = 4 - 3i$.

16.38 Укажите число, сопряжённое с комплексным числом $z$:

а) $z=(3+2i)+(1-i)$;

б) $z=(3+2i)-(1-i)$;

в) $z=(1+3i)^2$;

г) $z=(1-2i)^3$;

д) $z=(3+i)^3+(1-i)^2-(1+i).$

Для нахождения числа, сопряженного с комплексным числом $z = a + bi$, необходимо изменить знак его мнимой части. Сопряженное число обозначается как $\bar{z}$ и равно $a - bi$.

а) $z = (3 + 2i) + (1 - i)$

Сначала упростим выражение для комплексного числа $z$, выполнив сложение. Складываем действительные и мнимые части по отдельности:

$z = (3 + 1) + (2i - i) = 4 + i$

Теперь, когда число представлено в стандартной форме $z = 4 + 1i$, мы можем найти сопряженное ему число, изменив знак мнимой части:

$\bar{z} = 4 - i$

Ответ: $4 - i$

б) $z = (3 + 2i) - (1 - i)$

Упростим выражение для $z$, выполнив вычитание:

$z = 3 + 2i - 1 + i = (3 - 1) + (2i + i) = 2 + 3i$

Для числа $z = 2 + 3i$ сопряженным будет:

$\bar{z} = 2 - 3i$

Ответ: $2 - 3i$

в) $z = (1 + 3i)^2$

Возведем в квадрат, используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и учитывая, что $i^2 = -1$:

$z = 1^2 + 2(1)(3i) + (3i)^2 = 1 + 6i + 9i^2 = 1 + 6i - 9 = -8 + 6i$

Для числа $z = -8 + 6i$ сопряженным будет:

$\bar{z} = -8 - 6i$

Ответ: $-8 - 6i$

г) $z = (1 - 2i)^3$

Возведем в куб, используя формулу $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$. Нам понадобятся степени мнимой единицы: $i^2 = -1$, $i^3 = i^2 \cdot i = -i$.

$z = 1^3 - 3(1^2)(2i) + 3(1)(2i)^2 - (2i)^3 = 1 - 6i + 3(4i^2) - 8i^3$

$z = 1 - 6i + 12(-1) - 8(-i) = 1 - 6i - 12 + 8i$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$z = (1 - 12) + (-6i + 8i) = -11 + 2i$

Для числа $z = -11 + 2i$ сопряженным будет:

$\bar{z} = -11 - 2i$

Ответ: $-11 - 2i$

д) $z = (3 + i)^3 + (1 - i)^2 - (1 + i)$

Упростим выражение, вычислив каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: $(3 + i)^3$. Используем формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

$(3 + i)^3 = 3^3 + 3(3^2)(i) + 3(3)(i^2) + i^3 = 27 + 27i + 9(-1) + (-i) = 27 + 27i - 9 - i = 18 + 26i$

Второе слагаемое: $(1 - i)^2$. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(1 - i)^2 = 1^2 - 2(1)(i) + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$

Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение:

$z = (18 + 26i) + (-2i) - (1 + i) = 18 + 26i - 2i - 1 - i$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$z = (18 - 1) + (26i - 2i - i) = 17 + 23i$

Для числа $z = 17 + 23i$ сопряженным будет:

$\bar{z} = 17 - 23i$

Ответ: $17 - 23i$

Найдите все комплексные числа $z$, удовлетворяющие условию (16.39–16.40):

16.39 a) $z^2 + 2\bar{z} + 1 = 0$;

б) $z^2 - 2(z + \bar{z}) + 4 = 0$.

а) $z^2 + 2\bar{z} + 1 = 0$

Представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x$ и $y$ — действительные числа. Тогда комплексно-сопряженное число будет $\bar{z} = x - iy$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(x + iy)^2 + 2(x - iy) + 1 = 0$

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

$x^2 + 2ixy + (iy)^2 + 2x - 2iy + 1 = 0$

$x^2 + 2ixy - y^2 + 2x - 2iy + 1 = 0$

Сгруппируем действительную и мнимую части:

$(x^2 - y^2 + 2x + 1) + i(2xy - 2y) = 0$

Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда его действительная и мнимая части равны нулю. Это дает нам систему из двух уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 + 2x + 1 = 0 \\ 2xy - 2y = 0 \end{cases}$

Рассмотрим второе уравнение системы:

$2y(x - 1) = 0$

Отсюда следует, что либо $y = 0$, либо $x - 1 = 0 \implies x = 1$.

Случай 1: $y = 0$.

Подставим $y = 0$ в первое уравнение системы:

$x^2 - 0^2 + 2x + 1 = 0$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x + 1)^2 = 0$

$x = -1$

Таким образом, получаем первое решение: $z_1 = -1 + 0i = -1$.

Случай 2: $x = 1$.

Подставим $x = 1$ в первое уравнение системы:

$1^2 - y^2 + 2(1) + 1 = 0$

$1 - y^2 + 2 + 1 = 0$

$4 - y^2 = 0$

$y^2 = 4$

$y = \pm 2$

Таким образом, получаем еще два решения:

$z_2 = 1 + 2i$

$z_3 = 1 - 2i$

Ответ: $z = -1$, $z = 1 + 2i$, $z = 1 - 2i$.

б) $z^2 - 2(z + \bar{z}) + 4 = 0$

Представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$.

Найдем сумму $z + \bar{z}$:

$z + \bar{z} = (x + iy) + (x - iy) = 2x$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$z^2 - 2(2x) + 4 = 0$

$z^2 - 4x + 4 = 0$

Теперь подставим $z = x + iy$ в полученное уравнение:

$(x + iy)^2 - 4x + 4 = 0$

$x^2 + 2ixy - y^2 - 4x + 4 = 0$

Сгруппируем действительную и мнимую части:

$(x^2 - y^2 - 4x + 4) + i(2xy) = 0$

Приравняем действительную и мнимую части к нулю, чтобы получить систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 - 4x + 4 = 0 \\ 2xy = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения $2xy = 0$ следует, что либо $x = 0$, либо $y = 0$.

Случай 1: $x = 0$.

Подставим $x = 0$ в первое уравнение системы:

$0^2 - y^2 - 4(0) + 4 = 0$

$-y^2 + 4 = 0$

$y^2 = 4$

$y = \pm 2$

Получаем два решения:

$z_1 = 0 + 2i = 2i$

$z_2 = 0 - 2i = -2i$

Случай 2: $y = 0$.

Подставим $y = 0$ в первое уравнение системы:

$x^2 - 0^2 - 4x + 4 = 0$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x - 2)^2 = 0$

$x = 2$

Получаем третье решение: $z_3 = 2 + 0i = 2$.

Ответ: $z = 2$, $z = 2i$, $z = -2i$.

16.40 a) $z \operatorname{Re} z + \bar{z} \operatorname{Im} z = 3 - 2i;$

•б) $\frac{z}{\operatorname{Re} z} - \frac{2\bar{z}}{\operatorname{Im} z} = z(1 + 2i).$

a) $z \text{Re } z + \bar{z} \text{Im } z = 3 - 2i$

Представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + yi$, где $x = \text{Re } z$ – действительная часть, а $y = \text{Im } z$ – мнимая часть. Тогда комплексно-сопряженное число $\bar{z}$ равно $x - yi$.
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$(x + yi)x + (x - yi)y = 3 - 2i$
Раскроем скобки:
$x^2 + xyi + xy - y^2i = 3 - 2i$
Сгруппируем действительные и мнимые части в левой части уравнения:
$(x^2 + xy) + (xy - y^2)i = 3 - 2i$
Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Приравнивая их, получаем систему из двух уравнений:
$$ \begin{cases} x^2 + xy = 3 \\ xy - y^2 = -2 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $y$: $y = \frac{3 - x^2}{x}$. Заметим, что $x \neq 0$, иначе $0=3$, что неверно.
Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:
$x \left(\frac{3 - x^2}{x}\right) - \left(\frac{3 - x^2}{x}\right)^2 = -2$
$3 - x^2 - \frac{(3 - x^2)^2}{x^2} = -2$
$3 - x^2 - \frac{9 - 6x^2 + x^4}{x^2} = -2$
Умножим обе части уравнения на $x^2$:
$3x^2 - x^4 - (9 - 6x^2 + x^4) = -2x^2$
$3x^2 - x^4 - 9 + 6x^2 - x^4 = -2x^2$
$-2x^4 + 9x^2 - 9 = -2x^2$
$2x^4 - 11x^2 + 9 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$ (где $t \ge 0$):
$2t^2 - 11t + 9 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 121 - 72 = 49 = 7^2$
$t_1 = \frac{11 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
$t_2 = \frac{11 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$
Оба корня положительные. Вернемся к замене $x^2 = t$:
1) $x^2 = 1 \implies x_1 = 1, x_2 = -1$.
2) $x^2 = \frac{9}{2} \implies x_3 = \frac{3}{\sqrt{2}}, x_4 = -\frac{3}{\sqrt{2}}$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$ по формуле $y = \frac{3 - x^2}{x}$:
- Для $x_1 = 1$: $y_1 = \frac{3 - 1^2}{1} = 2$. Получаем решение $z_1 = 1 + 2i$.
- Для $x_2 = -1$: $y_2 = \frac{3 - (-1)^2}{-1} = \frac{2}{-1} = -2$. Получаем решение $z_2 = -1 - 2i$.
- Для $x_3 = \frac{3}{\sqrt{2}}$: $y_3 = \frac{3 - (9/2)}{3/\sqrt{2}} = \frac{-3/2}{3/\sqrt{2}} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Получаем решение $z_3 = \frac{3}{\sqrt{2}} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.
- Для $x_4 = -\frac{3}{\sqrt{2}}$: $y_4 = \frac{3 - (9/2)}{-3/\sqrt{2}} = \frac{-3/2}{-3/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Получаем решение $z_4 = -\frac{3}{\sqrt{2}} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $z_1 = 1 + 2i, z_2 = -1 - 2i, z_3 = \frac{3\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}, z_4 = -\frac{3\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) $\frac{z}{\text{Re } z} - \frac{2\bar{z}}{\text{Im } z} = z(1 + 2i)$

Пусть $z = x + yi$. Тогда $\text{Re } z = x$, $\text{Im } z = y$ и $\bar{z} = x - yi$. Из условия следует, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$.
Подставим выражения в уравнение:
$\frac{x + yi}{x} - \frac{2(x - yi)}{y} = (x + yi)(1 + 2i)$
Преобразуем левую и правую части.
Левая часть:
$1 + \frac{y}{x}i - \left(\frac{2x}{y} - \frac{2y}{y}i\right) = 1 + \frac{y}{x}i - \frac{2x}{y} + 2i = \left(1 - \frac{2x}{y}\right) + i\left(\frac{y}{x} + 2\right)$
Правая часть:
$(x + yi)(1 + 2i) = x + 2xi + yi + 2yi^2 = x + 2xi + yi - 2y = (x - 2y) + i(2x + y)$
Приравнивая левую и правую части, получаем:
$\left(1 - \frac{2x}{y}\right) + i\left(\frac{y}{x} + 2\right) = (x - 2y) + i(2x + y)$
Приравниваем действительные и мнимые части:
$$ \begin{cases} 1 - \frac{2x}{y} = x - 2y & (1) \\ \frac{y}{x} + 2 = 2x + y & (2) \end{cases} $$ Рассмотрим второе уравнение. Умножим его на $x$ (помним, что $x \neq 0$):
$y + 2x = 2x^2 + xy$
$y - xy = 2x^2 - 2x$
$y(1 - x) = 2x(x - 1)$
$y(1 - x) = -2x(1 - x)$
$(y + 2x)(1 - x) = 0$
Отсюда следуют два возможных случая:
Случай 1: $1 - x = 0 \implies x = 1$.
Подставим $x = 1$ в первое уравнение системы:
$1 - \frac{2(1)}{y} = 1 - 2y$
$-\frac{2}{y} = -2y$
$2y^2 = 2 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1$.
Получаем два решения: $z_1 = 1 + i$ и $z_2 = 1 - i$.
Случай 2: $y + 2x = 0 \implies y = -2x$.
Подставим $y = -2x$ в первое уравнение системы:
$1 - \frac{2x}{-2x} = x - 2(-2x)$
$1 - (-1) = x + 4x$
$2 = 5x \implies x = \frac{2}{5}$.
Тогда $y = -2x = -2 \cdot \frac{2}{5} = -\frac{4}{5}$.
Получаем третье решение: $z_3 = \frac{2}{5} - i\frac{4}{5}$.

Ответ: $z_1 = 1 + i, z_2 = 1 - i, z_3 = \frac{2}{5} - \frac{4}{5}i$.