Страница 385 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

16.31 Пусть дано комплексное число $z = a + bi$. Какое комплексное число называют сопряжённым с числом $z$? Для каких чисел равны само число и число, ему сопряжённое?

Какое комплексное число называют сопряжённым с числом z?

Пусть дано комплексное число в алгебраической форме $z = a + bi$, где $a$ и $b$ – действительные числа, а $i$ – мнимая единица. Число $a$ называют действительной частью числа $z$ (обозначается $a = \text{Re}(z)$), а число $b$ – мнимой частью числа $z$ (обозначается $b = \text{Im}(z)$). Комплексно-сопряжённым числом (или просто сопряжённым) к числу $z$ называют комплексное число $\bar{z}$, которое имеет такую же действительную часть, как и $z$, и противоположную по знаку мнимую часть. Таким образом, для числа $z = a + bi$ сопряжённым является число $\bar{z} = a - bi$.
Ответ: Сопряжённым с числом $z = a + bi$ называют число $\bar{z} = a - bi$.

Для каких чисел равны само число и число, ему сопряжённое?

Найдём числа $z$, для которых выполняется равенство $z = \bar{z}$. Пусть $z = a + bi$. Тогда его сопряжённое число $\bar{z} = a - bi$. Приравняем их: $a + bi = a - bi$. Вычтем из обеих частей равенства действительную часть $a$: $bi = -bi$. Перенесём все члены в левую часть уравнения: $bi + bi = 0$, что даёт $2bi = 0$. Это равенство справедливо тогда и только тогда, когда коэффициент при мнимой единице равен нулю, то есть $2b = 0$, откуда следует, что $b=0$. Действительная часть $a$ может быть любым действительным числом. Комплексные числа, у которых мнимая часть равна нулю ($b=0$), являются действительными (вещественными) числами, так как $z = a + 0i = a$. Следовательно, комплексное число равно своему сопряжённому тогда и только тогда, когда оно является действительным числом.
Ответ: Само число и число, ему сопряжённое, равны для всех действительных (вещественных) чисел.

16.32 Укажите число, сопряжённое комплексному числу:

a) $z = 12 + 5i$;

б) $z = -1 - 2i$;

в) $z = 2 - i$.

Комплексно сопряженным числом к комплексному числу $z = a + bi$ (где $a$ – действительная часть, $b$ – мнимая часть) называется число $\bar{z}$, которое имеет ту же действительную часть, но противоположную по знаку мнимую часть. Таким образом, $\bar{z} = a - bi$.

а)

Дано комплексное число $z = 12 + 5i$.

Действительная часть этого числа $a = 12$.

Мнимая часть этого числа $b = 5$.

Чтобы найти сопряженное число $\bar{z}$, мы меняем знак мнимой части на противоположный:

$\bar{z} = 12 - 5i$.

Ответ: $\bar{z} = 12 - 5i$.

б)

Дано комплексное число $z = -1 - 2i$.

Действительная часть этого числа $a = -1$.

Мнимая часть этого числа $b = -2$.

Чтобы найти сопряженное число $\bar{z}$, мы меняем знак мнимой части на противоположный:

$\bar{z} = -1 - (-2)i = -1 + 2i$.

Ответ: $\bar{z} = -1 + 2i$.

в)

Дано комплексное число $z = 2 - i$.

Действительная часть этого числа $a = 2$.

Мнимая часть этого числа $b = -1$ (так как $z = 2 + (-1)i$).

Чтобы найти сопряженное число $\bar{z}$, мы меняем знак мнимой части на противоположный:

$\bar{z} = 2 - (-1)i = 2 + i$.

Ответ: $\bar{z} = 2 + i$.

16.33 Докажите, что сумма и произведение взаимно сопряжённых чисел — действительные числа.

Для доказательства возьмём произвольное комплексное число $z$ в его алгебраической форме $z = a + bi$, где $a$ и $b$ являются действительными числами ($a, b \in \mathbb{R}$), а $i$ — мнимая единица. Число, взаимно сопряжённое к $z$, обозначается как $\bar{z}$ и равно $\bar{z} = a - bi$.

Нам необходимо доказать, что сумма $z + \bar{z}$ и произведение $z \cdot \bar{z}$ являются действительными числами.

Сумма

Найдём сумму сопряжённых чисел $z$ и $\bar{z}$:
$z + \bar{z} = (a + bi) + (a - bi) = a + bi + a - bi = (a+a) + (b-b)i = 2a$.

По определению, $a$ — это действительная часть комплексного числа, то есть $a$ является действительным числом. Следовательно, выражение $2a$ также является действительным числом. Мнимая часть результата равна нулю.

Ответ: Сумма взаимно сопряжённых чисел равна $2a$ и является действительным числом.

Произведение

Найдём произведение сопряжённых чисел $z$ и $\bar{z}$. Для этого воспользуемся формулой разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:
$z \cdot \bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2i^2$.

Зная, что мнимая единица в квадрате даёт $-1$ ($i^2 = -1$), подставим это значение в выражение:
$a^2 - b^2(-1) = a^2 + b^2$.

По определению, $a$ и $b$ — действительные числа. Квадраты действительных чисел ($a^2$ и $b^2$) также являются действительными числами, как и их сумма. Следовательно, выражение $a^2 + b^2$ является действительным числом. Мнимая часть результата равна нулю.

Ответ: Произведение взаимно сопряжённых чисел равно $a^2 + b^2$ и является действительным числом.

16.34 Пусть u и v — произвольные комплексные числа. Докажите, что:

a) $\overline{u+v} = \overline{u} + \overline{v}$;

б) $\overline{u-v} = \overline{u} - \overline{v}$;

в) $\overline{u \cdot v} = \overline{u} \cdot \overline{v}$;

г) $\overline{\left(\frac{u}{v}\right)} = \frac{\overline{u}}{\overline{v}}$, если $v \neq 0$;

д) $\overline{(u^n)} = (\overline{u})^n$, $n \in N$.

а) Пусть комплексные числа $u$ и $v$ представлены в алгебраической форме: $u = a + bi$ и $v = c + di$, где $a, b, c, d$ — действительные числа. Найдем сумму $u+v$: $u + v = (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i$. Комплексно-сопряженное число к этой сумме равно: $\overline{u+v} = \overline{(a+c) + (b+d)i} = (a+c) - (b+d)i$. Теперь найдем сумму комплексно-сопряженных чисел. Комплексно-сопряженные к $u$ и $v$ числа это $\bar{u} = a - bi$ и $\bar{v} = c - di$. Их сумма: $\bar{u} + \bar{v} = (a - bi) + (c - di) = (a+c) - (b+d)i$. Сравнивая полученные выражения для $\overline{u+v}$ и $\bar{u} + \bar{v}$, мы видим, что они тождественно равны.
Ответ: $\overline{u+v} = \bar{u} + \bar{v}$.

б) Пусть $u = a + bi$ и $v = c + di$. Найдем разность $u-v$: $u - v = (a + bi) - (c + di) = (a-c) + (b-d)i$. Комплексно-сопряженное число к этой разности: $\overline{u-v} = \overline{(a-c) + (b-d)i} = (a-c) - (b-d)i$. Теперь найдем разность комплексно-сопряженных чисел $\bar{u} = a - bi$ и $\bar{v} = c - di$: $\bar{u} - \bar{v} = (a - bi) - (c - di) = (a-c) - (b-d)i$. Полученные выражения равны, следовательно, тождество доказано.
Ответ: $\overline{u-v} = \bar{u} - \bar{v}$.

в) Пусть $u = a + bi$ и $v = c + di$. Найдем произведение $u \cdot v$: $u \cdot v = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$. Комплексно-сопряженное число к этому произведению: $\overline{u \cdot v} = \overline{(ac - bd) + (ad + bc)i} = (ac - bd) - (ad + bc)i$. Теперь найдем произведение комплексно-сопряженных чисел $\bar{u} = a-bi$ и $\bar{v} = c-di$: $\bar{u} \cdot \bar{v} = (a - bi)(c - di) = ac - adi - bci + bdi^2 = (ac - bd) - (ad + bc)i$. Полученные выражения равны, что и доказывает тождество.
Ответ: $\overline{u \cdot v} = \bar{u} \cdot \bar{v}$.

г) Для доказательства этого свойства воспользуемся уже доказанным свойством сопряжения произведения из пункта в). Пусть $w = \frac{u}{v}$. По определению частного, это означает, что $u = w \cdot v$. Найдем комплексно-сопряженное число от обеих частей равенства $u = w \cdot v$: $\bar{u} = \overline{w \cdot v}$. Применим свойство сопряжения произведения: $\bar{u} = \bar{w} \cdot \bar{v}$. По условию $v \neq 0$, из этого следует, что и $\bar{v} \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части равенства на $\bar{v}$: $\bar{w} = \frac{\bar{u}}{\bar{v}}$. Подставив обратно $w = \frac{u}{v}$, получаем искомое тождество: $\overline{\left(\frac{u}{v}\right)} = \frac{\bar{u}}{\bar{v}}$.
Ответ: $\overline{\left(\frac{u}{v}\right)} = \frac{\bar{u}}{\bar{v}}$, если $v \neq 0$.

д) Докажем равенство $\overline{(u^n)} = (\bar{u})^n$ для любого натурального $n \in \mathbb{N}$ методом математической индукции. 1. База индукции: Проверим утверждение для $n=1$. $\overline{(u^1)} = \bar{u}$. $(\bar{u})^1 = \bar{u}$. Равенство выполняется, база индукции верна. 2. Индукционное предположение: Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть $\overline{(u^k)} = (\bar{u})^k$. 3. Индукционный переход: Докажем, что из верности утверждения для $k$ следует его верность для $k+1$. Рассмотрим левую часть равенства для $n = k+1$: $\overline{(u^{k+1})} = \overline{(u^k \cdot u)}$. Используя свойство сопряжения произведения из пункта в), получаем: $\overline{(u^k \cdot u)} = \overline{(u^k)} \cdot \bar{u}$. Теперь применим индукционное предположение $\overline{(u^k)} = (\bar{u})^k$: $\overline{(u^k)} \cdot \bar{u} = (\bar{u})^k \cdot \bar{u} = (\bar{u})^{k+1}$. Таким образом, мы показали, что $\overline{(u^{k+1})} = (\bar{u})^{k+1}$. По принципу математической индукции, равенство доказано для любого натурального $n$.
Ответ: $\overline{(u^n)} = (\bar{u})^n, n \in \mathbb{N}$.

16.35 Выполните деление комплексных чисел:

а) $(1 + 2i) : (2 + i)$;

б) $(1 - 2i) : (2 - i)$;

в) $(3 + 2i) : (1 - i)$;

г) $(3 - 5i) : (3 + 4i)$;

д) $(10 + i) : (3 + 5i)$;

е) $(10 - i) : (13 - 5i)$.

Для выполнения деления одного комплексного числа $z_1 = a + bi$ на другое $z_2 = c + di$, необходимо умножить числитель и знаменатель дроби $\frac{z_1}{z_2}$ на число, сопряженное знаменателю, т.е. на $\bar{z_2} = c - di$. Это позволяет избавиться от мнимой части в знаменателе. Формула для деления выглядит так:

$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{ac - adi + bci - bdi^2}{c^2 - (di)^2} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$

а) Выполним деление $(1 + 2i)$ на $(2 + i)$. Комплексно сопряженное к знаменателю $(2 + i)$ есть $(2 - i)$.

$\frac{1 + 2i}{2 + i} = \frac{(1 + 2i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{1 \cdot 2 - 1 \cdot i + 2i \cdot 2 - 2i \cdot i}{2^2 + 1^2} = \frac{2 - i + 4i - 2i^2}{4 + 1} = \frac{2 + 3i - 2(-1)}{5} = \frac{2 + 3i + 2}{5} = \frac{4 + 3i}{5} = \frac{4}{5} + \frac{3}{5}i$.

Ответ: $\frac{4}{5} + \frac{3}{5}i$.

б) Выполним деление $(1 - 2i)$ на $(2 - i)$. Комплексно сопряженное к знаменателю $(2 - i)$ есть $(2 + i)$.

$\frac{1 - 2i}{2 - i} = \frac{(1 - 2i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{1 \cdot 2 + 1 \cdot i - 2i \cdot 2 - 2i \cdot i}{2^2 + (-1)^2} = \frac{2 + i - 4i - 2i^2}{4 + 1} = \frac{2 - 3i - 2(-1)}{5} = \frac{2 - 3i + 2}{5} = \frac{4 - 3i}{5} = \frac{4}{5} - \frac{3}{5}i$.

Ответ: $\frac{4}{5} - \frac{3}{5}i$.

в) Выполним деление $(3 + 2i)$ на $(1 - i)$. Комплексно сопряженное к знаменателю $(1 - i)$ есть $(1 + i)$.

$\frac{3 + 2i}{1 - i} = \frac{(3 + 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{3 \cdot 1 + 3 \cdot i + 2i \cdot 1 + 2i \cdot i}{1^2 + (-1)^2} = \frac{3 + 3i + 2i + 2i^2}{1 + 1} = \frac{3 + 5i + 2(-1)}{2} = \frac{3 + 5i - 2}{2} = \frac{1 + 5i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i$.

Ответ: $\frac{1}{2} + \frac{5}{2}i$.

г) Выполним деление $(3 - 5i)$ на $(3 + 4i)$. Комплексно сопряженное к знаменателю $(3 + 4i)$ есть $(3 - 4i)$.

$\frac{3 - 5i}{3 + 4i} = \frac{(3 - 5i)(3 - 4i)}{(3 + 4i)(3 - 4i)} = \frac{3 \cdot 3 - 3 \cdot 4i - 5i \cdot 3 + 5i \cdot 4i}{3^2 + 4^2} = \frac{9 - 12i - 15i + 20i^2}{9 + 16} = \frac{9 - 27i + 20(-1)}{25} = \frac{9 - 27i - 20}{25} = \frac{-11 - 27i}{25} = -\frac{11}{25} - \frac{27}{25}i$.

Ответ: $-\frac{11}{25} - \frac{27}{25}i$.

д) Выполним деление $(10 + i)$ на $(3 + 5i)$. Комплексно сопряженное к знаменателю $(3 + 5i)$ есть $(3 - 5i)$.

$\frac{10 + i}{3 + 5i} = \frac{(10 + i)(3 - 5i)}{(3 + 5i)(3 - 5i)} = \frac{10 \cdot 3 - 10 \cdot 5i + i \cdot 3 - i \cdot 5i}{3^2 + 5^2} = \frac{30 - 50i + 3i - 5i^2}{9 + 25} = \frac{30 - 47i - 5(-1)}{34} = \frac{30 - 47i + 5}{34} = \frac{35 - 47i}{34} = \frac{35}{34} - \frac{47}{34}i$.

Ответ: $\frac{35}{34} - \frac{47}{34}i$.

е) Выполним деление $(10 - i)$ на $(13 - 5i)$. Комплексно сопряженное к знаменателю $(13 - 5i)$ есть $(13 + 5i)$.

$\frac{10 - i}{13 - 5i} = \frac{(10 - i)(13 + 5i)}{(13 - 5i)(13 + 5i)} = \frac{10 \cdot 13 + 10 \cdot 5i - i \cdot 13 - i \cdot 5i}{13^2 + (-5)^2} = \frac{130 + 50i - 13i - 5i^2}{169 + 25} = \frac{130 + 37i - 5(-1)}{194} = \frac{130 + 37i + 5}{194} = \frac{135 + 37i}{194} = \frac{135}{194} + \frac{37}{194}i$.

Ответ: $\frac{135}{194} + \frac{37}{194}i$.