Страница 384 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

16.21 Упростите выражение:

а) $(x + i)(x - i)$;

б) $(x + yi)(x - yi)$;

в) $(3x + yi)(3x - yi)$;

г) $(x - 2yi)(x + 2yi)$;

д) $(-5x + 4y^2i)(5x - 4y^2i)$;

е) $(6x^3 + yi)(-6x^3 + yi)$.

а) Для упрощения выражения $(x + i)(x - i)$ воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В данном случае $a = x$ и $b = i$.

$(x + i)(x - i) = x^2 - i^2$

Поскольку мнимая единица $i$ в квадрате равна $-1$ (то есть $i^2 = -1$), подставим это значение в выражение:

$x^2 - (-1) = x^2 + 1$

Ответ: $x^2 + 1$

б) Выражение $(x + yi)(x - yi)$ также является произведением сопряженных комплексных чисел и упрощается по формуле разности квадратов. Здесь $a = x$ и $b = yi$.

$(x + yi)(x - yi) = x^2 - (yi)^2 = x^2 - y^2i^2$

Заменяя $i^2$ на $-1$, получаем:

$x^2 - y^2(-1) = x^2 + y^2$

Ответ: $x^2 + y^2$

в) Упростим выражение $(3x + yi)(3x - yi)$ по формуле разности квадратов, где $a = 3x$ и $b = yi$.

$(3x + yi)(3x - yi) = (3x)^2 - (yi)^2 = 9x^2 - y^2i^2$

Подставляем $i^2 = -1$:

$9x^2 - y^2(-1) = 9x^2 + y^2$

Ответ: $9x^2 + y^2$

г) Для выражения $(x - 2yi)(x + 2yi)$ применим ту же формулу разности квадратов. Здесь $a = x$ и $b = 2yi$.

$(x - 2yi)(x + 2yi) = x^2 - (2yi)^2 = x^2 - 4y^2i^2$

Заменяем $i^2$ на $-1$:

$x^2 - 4y^2(-1) = x^2 + 4y^2$

Ответ: $x^2 + 4y^2$

д) Для упрощения выражения $(-5x + 4y^2i)(5x - 4y^2i)$ раскроем скобки, перемножив каждый член первого выражения на каждый член второго.

$(-5x + 4y^2i)(5x - 4y^2i) = (-5x) \cdot (5x) + (-5x) \cdot (-4y^2i) + (4y^2i) \cdot (5x) + (4y^2i) \cdot (-4y^2i)$

Выполним умножение:

$-25x^2 + 20xy^2i + 20xy^2i - 16y^4i^2$

Приведем подобные слагаемые и заменим $i^2$ на $-1$:

$-25x^2 + 40xy^2i - 16y^4(-1) = -25x^2 + 40xy^2i + 16y^4$

Для удобства можно переписать, начиная с положительного члена: $16y^4 - 25x^2 + 40xy^2i$.

Ответ: $16y^4 - 25x^2 + 40xy^2i$

е) Упростим выражение $(6x^3 + yi)(-6x^3 + yi)$. Переставим слагаемые для удобства, чтобы применить формулу разности квадратов: $(yi + 6x^3)(yi - 6x^3)$.

Здесь $a = yi$ и $b = 6x^3$. Применяем формулу $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$(yi + 6x^3)(yi - 6x^3) = (yi)^2 - (6x^3)^2 = y^2i^2 - 36x^6$

Подставляем $i^2 = -1$:

$y^2(-1) - 36x^6 = -y^2 - 36x^6$

Ответ: $-y^2 - 36x^6$

16.22 Разложите на множители:

а) $x^2 + 1;$

б) $x^2 + y^2;$

в) $16x^2 + y^2;$

г) $25x^2 + 9y^2;$

д) $25x^4 + 16y^2;$

е) $36x^6 + 16y^8.$

Для разложения на множители выражений, представляющих собой сумму квадратов вида $A^2+B^2$, используется метод, основанный на применении комплексных чисел. В частности, используется мнимая единица $i$, для которой справедливо равенство $i^2 = -1$. Это позволяет преобразовать сумму квадратов в разность квадратов по следующей схеме: $A^2+B^2 = A^2 - (-B^2) = A^2 - (iB)^2$. К полученной разности квадратов применяется известная формула сокращённого умножения: $X^2-Y^2 = (X-Y)(X+Y)$.

а) $x^2 + 1$

В данном выражении $A = x$ и $B = 1$.

Преобразуем сумму квадратов в разность квадратов:

$x^2 + 1^2 = x^2 - (i \cdot 1)^2 = x^2 - i^2$.

Применяя формулу разности квадратов, получаем:

$(x - i)(x + i)$.

Ответ: $(x-i)(x+i)$.

б) $x^2 + y^2$

В данном выражении $A = x$ и $B = y$.

Преобразуем сумму квадратов в разность квадратов:

$x^2 + y^2 = x^2 - (iy)^2$.

Применяя формулу разности квадратов, получаем:

$(x-iy)(x+iy)$.

Ответ: $(x-iy)(x+iy)$.

в) $16x^2 + y^2$

Сначала представим слагаемые в виде квадратов: $16x^2 = (4x)^2$. Таким образом, $A = 4x$ и $B = y$.

Преобразуем сумму квадратов в разность квадратов:

$(4x)^2 + y^2 = (4x)^2 - (iy)^2$.

Применяя формулу разности квадратов, получаем:

$(4x-iy)(4x+iy)$.

Ответ: $(4x-iy)(4x+iy)$.

г) $25x^2 + 9y^2$

Представим слагаемые в виде квадратов: $25x^2 = (5x)^2$ и $9y^2 = (3y)^2$. Таким образом, $A = 5x$ и $B = 3y$.

Преобразуем сумму квадратов в разность квадратов:

$(5x)^2 + (3y)^2 = (5x)^2 - (i \cdot 3y)^2 = (5x)^2 - (3iy)^2$.

Применяя формулу разности квадратов, получаем:

$(5x-3iy)(5x+3iy)$.

Ответ: $(5x-3iy)(5x+3iy)$.

д) $25x^4 + 16y^2$

Представим слагаемые в виде квадратов: $25x^4 = (5x^2)^2$ и $16y^2 = (4y)^2$. Таким образом, $A = 5x^2$ и $B = 4y$.

Преобразуем сумму квадратов в разность квадратов:

$(5x^2)^2 + (4y)^2 = (5x^2)^2 - (i \cdot 4y)^2 = (5x^2)^2 - (4iy)^2$.

Применяя формулу разности квадратов, получаем:

$(5x^2-4iy)(5x^2+4iy)$.

Ответ: $(5x^2-4iy)(5x^2+4iy)$.

е) $36x^6 + 16y^8$

Представим слагаемые в виде квадратов: $36x^6 = (6x^3)^2$ и $16y^8 = (4y^4)^2$. Таким образом, $A = 6x^3$ и $B = 4y^4$.

Преобразуем сумму квадратов в разность квадратов:

$(6x^3)^2 + (4y^4)^2 = (6x^3)^2 - (i \cdot 4y^4)^2 = (6x^3)^2 - (4iy^4)^2$.

Применяя формулу разности квадратов, получаем:

$(6x^3-4iy^4)(6x^3+4iy^4)$.

Ответ: $(6x^3-4iy^4)(6x^3+4iy^4)$.

16.23 Пусть дано комплексное число $z = a + bi$. Какое комплексное число называют:

а) противоположным числу $z$;

б) обратным числу $z$ ($z \neq 0$)?

а) противоположным числу z;

Противоположным для комплексного числа $z = a + bi$ называется такое число, которое в сумме с числом $z$ дает ноль. Ноль в комплексных числах — это $0 + 0i$. Обозначим противоположное число как $-z$.

Условие можно записать в виде уравнения: $z + (-z) = 0$.

Пусть искомое противоположное число равно $x + yi$. Тогда:

$(a + bi) + (x + yi) = 0 + 0i$

Складывая действительные и мнимые части по отдельности, получаем:

$(a + x) + (b + y)i = 0 + 0i$

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Таким образом, мы получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} a + x = 0 \\ b + y = 0 \end{cases} $

Решая эту систему, находим $x = -a$ и $y = -b$.

Следовательно, число, противоположное $z = a + bi$, есть $-z = -a - bi$.

Ответ: $-z = -a - bi$.

б) обратным числу z (z ≠ 0)?

Обратным для ненулевого комплексного числа $z = a + bi$ называется такое число, которое при умножении на $z$ дает единицу. Единица в комплексных числах — это $1 + 0i$. Обозначим обратное число как $z^{-1}$ или $\frac{1}{z}$.

Условие можно записать в виде уравнения: $z \cdot z^{-1} = 1$.

Отсюда мы можем выразить $z^{-1}$:

$z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{1}{a + bi}$

Чтобы представить это число в стандартной алгебраической форме, нужно избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на число, комплексно-сопряженное к знаменателю, то есть на $\bar{z} = a - bi$.

$z^{-1} = \frac{1}{a + bi} \cdot \frac{a - bi}{a - bi} = \frac{a - bi}{(a + bi)(a - bi)}$

В знаменателе мы используем формулу $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. С учетом того, что $i^2 = -1$:

$(a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2i^2 = a^2 - b^2(-1) = a^2 + b^2$

Это выражение ($a^2 + b^2$) является квадратом модуля комплексного числа $z$, т.е. $|z|^2$. Так как по условию $z \neq 0$, то и $a^2+b^2 \neq 0$.

Подставим полученное выражение для знаменателя обратно:

$z^{-1} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2}$

Теперь разделим дробь на действительную и мнимую части:

$z^{-1} = \frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{b}{a^2 + b^2}i$

Ответ: $z^{-1} = \frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{b}{a^2 + b^2}i$.

16.24 Пусть дано комплексное число $z = 12 + 5i$. Укажите число:

а) противоположное числу $z$;

б) обратное число $z$.

Дано комплексное число $z = 12 + 5i$. Найдем для него противоположное и обратное числа.

а) противоположное числу z

Противоположным для комплексного числа $z = a + bi$ является число $-z = -(a + bi) = -a - bi$. Это число, которое при сложении с исходным числом $z$ дает в результате ноль.

Для данного числа $z = 12 + 5i$ противоположным будет:

$-z = -(12 + 5i) = -12 - 5i$

Ответ: $-12 - 5i$

б) обратное числу z

Обратным для ненулевого комплексного числа $z$ является число $z^{-1} = \frac{1}{z}$. Это число, которое при умножении на исходное число $z$ дает в результате единицу.

Для данного числа $z = 12 + 5i$ обратное число равно:

$z^{-1} = \frac{1}{12 + 5i}$

Чтобы представить это число в стандартной алгебраической форме $a + bi$, нужно избавиться от мнимой части в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю. Комплексно сопряженное к $12 + 5i$ число есть $12 - 5i$.

$\frac{1}{12 + 5i} = \frac{1 \cdot (12 - 5i)}{(12 + 5i)(12 - 5i)}$

В знаменателе используем формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$ и свойство мнимой единицы $i^2 = -1$:

$(12 + 5i)(12 - 5i) = 12^2 - (5i)^2 = 144 - 25i^2 = 144 - 25(-1) = 144 + 25 = 169$

Теперь подставим полученное значение обратно в дробь:

$z^{-1} = \frac{12 - 5i}{169}$

Разделим дробь на действительную и мнимую части:

$z^{-1} = \frac{12}{169} - \frac{5}{169}i$

Ответ: $\frac{12}{169} - \frac{5}{169}i$

16.25 Пусть $a$ и $b$ — действительные числа. Приведите к виду $a+bi$ выражение:

а) $\frac{1}{i}$;

б) $-\frac{1}{i}$;

в) $\frac{1}{1+i}$;

г) $\frac{1}{1-i}$;

д) $\frac{1}{1+i} + \frac{1}{1-i}$;

е) $i^3 - 2i^2 + i - 1$;

ж) $i^{80} + i^{22} + i^7 + i^5 + i$.

а) Чтобы привести выражение $\frac{1}{i}$ к виду $a+bi$, нужно избавиться от мнимой единицы в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на $i$:

$\frac{1}{i} = \frac{1 \cdot i}{i \cdot i} = \frac{i}{i^2}$

Поскольку по определению $i^2 = -1$, получаем:

$\frac{i}{-1} = -i$

В виде $a+bi$ это записывается как $0 - 1 \cdot i$.

Ответ: $-i$

б) Данное выражение является противоположным выражению из пункта а), поэтому:

$-\frac{1}{i} = -(-i) = i$

В виде $a+bi$ это записывается как $0 + 1 \cdot i$.

Ответ: $i$

в) Чтобы привести дробь $\frac{1}{1+i}$ к виду $a+bi$, умножим ее числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к $1+i$ является $1-i$:

$\frac{1}{1+i} = \frac{1 \cdot (1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-i}{1^2 + 1^2} = \frac{1-i}{2}$

Разделив действительную и мнимую части на 2, получаем итоговое выражение:

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$

Ответ: $\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$

г) Аналогично предыдущему пункту, умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{1-i}$ на сопряженное к знаменателю выражение, то есть на $1+i$:

$\frac{1}{1-i} = \frac{1 \cdot (1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+i}{1^2 + (-1)^2} = \frac{1+i}{1+1} = \frac{1+i}{2}$

Разделив на 2, получаем:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$

Ответ: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$

д) Для нахождения суммы $\frac{1}{1+i} + \frac{1}{1-i}$ можно использовать результаты, полученные в пунктах в) и г):

$(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i) + (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i) = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) + (-\frac{1}{2}i + \frac{1}{2}i) = 1 + 0i = 1$

Альтернативный способ — привести дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{1+i} + \frac{1}{1-i} = \frac{1 \cdot (1-i) + 1 \cdot (1+i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-i+1+i}{1^2+1^2} = \frac{2}{2} = 1$

В виде $a+bi$ это записывается как $1 + 0 \cdot i$.

Ответ: $1$

е) Упростим выражение $i^3 - 2i^2 + i - 1$, используя основные свойства мнимой единицы: $i^2 = -1$ и $i^3 = i^2 \cdot i = -i$.

Подставим эти значения в выражение:

$i^3 - 2i^2 + i - 1 = (-i) - 2(-1) + i - 1 = -i + 2 + i - 1$

Теперь сгруппируем действительные и мнимые части:

$(2 - 1) + (-i + i) = 1 + 0 = 1$

В виде $a+bi$ это записывается как $1 + 0 \cdot i$.

Ответ: $1$

ж) Упростим выражение $i^{80} + i^{22} + i^7 + i^5 + i$. Степени мнимой единицы циклически повторяются с периодом 4: $i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1$. Поэтому значение $i^n$ зависит от остатка от деления $n$ на 4.

Вычислим каждую степень:
$i^{80} = i^{4 \cdot 20} = (i^4)^{20} = 1^{20} = 1$ (остаток от деления 80 на 4 равен 0)
$i^{22} = i^{4 \cdot 5 + 2} = i^2 = -1$ (остаток от деления 22 на 4 равен 2)
$i^7 = i^{4 \cdot 1 + 3} = i^3 = -i$ (остаток от деления 7 на 4 равен 3)
$i^5 = i^{4 \cdot 1 + 1} = i^1 = i$ (остаток от деления 5 на 4 равен 1)

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$i^{80} + i^{22} + i^7 + i^5 + i = 1 + (-1) + (-i) + i + i$

Суммируем действительные и мнимые части:

$(1 - 1) + (-i + i + i) = 0 + i = i$

В виде $a+bi$ это записывается как $0 + 1 \cdot i$.

Ответ: $i$

16.26 Для какого действительного числа $x$ выражение $(3 + xi)^2 - (4x + 2)i$ является:

а) действительным числом;

б) мнимым числом?

Для решения задачи сначала упростим данное выражение, представив его в стандартной алгебраической форме комплексного числа $z = a + bi$, где $a$ – действительная часть, а $b$ – мнимая часть.

Исходное выражение: $Z = (3 + xi)^2 - (4x + 2)i$.

Раскроем квадрат комплексного числа $(3 + xi)^2$ по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(3 + xi)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot (xi) + (xi)^2 = 9 + 6xi + x^2i^2$.

Зная, что мнимая единица $i$ в квадрате равна $-1$ (то есть, $i^2 = -1$), получаем:
$9 + 6xi + x^2(-1) = 9 + 6xi - x^2 = (9 - x^2) + 6xi$.

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:
$Z = ((9 - x^2) + 6xi) - (4x + 2)i$.

Сгруппируем действительные и мнимые части, чтобы привести выражение к виду $a+bi$:
$Z = (9 - x^2) + (6x - (4x + 2))i$.

Упростим выражение в скобках для мнимой части:
$6x - 4x - 2 = 2x - 2$.

Таким образом, комплексное выражение в алгебраической форме имеет вид:
$Z = (9 - x^2) + (2x - 2)i$.

Действительная часть этого выражения (Re Z) равна $9 - x^2$.
Мнимая часть этого выражения (Im Z) равна $2x - 2$.

а) действительным числом;

Выражение является действительным числом, если его мнимая часть равна нулю.
$Im(Z) = 0$
$2x - 2 = 0$

Решим полученное линейное уравнение:
$2x = 2$
$x = 1$

При $x = 1$ выражение принимает значение $(9 - 1^2) + (2 \cdot 1 - 2)i = 8 + 0i = 8$, что является действительным числом.

Ответ: при $x=1$.

б) мнимым числом?

Выражение является чисто мнимым числом, если его действительная часть равна нулю.
$Re(Z) = 0$
$9 - x^2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:
$x^2 = 9$
$x = \pm\sqrt{9}$
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.

При $x = 3$ выражение принимает значение $(9 - 3^2) + (2 \cdot 3 - 2)i = (9 - 9) + (6 - 2)i = 0 + 4i = 4i$.
При $x = -3$ выражение принимает значение $(9 - (-3)^2) + (2 \cdot (-3) - 2)i = (9 - 9) + (-6 - 2)i = 0 - 8i = -8i$.
Оба числа, $4i$ и $-8i$, являются мнимыми.

Ответ: при $x=3$ и $x=-3$.

16.27 Для какого действительного числа $x$ выражение $(x + 2i)^2 + (5 + x)i$ является:

а) действительным числом;

б) мнимым числом?

Сначала упростим данное выражение $Z = (x + 2i)^2 + (5 + x)i$, где $x$ — действительное число. Представим его в стандартной алгебраической форме $a + bi$.

Раскроем квадрат: $(x + 2i)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2i + (2i)^2 = x^2 + 4xi + 4i^2$.

Так как $i^2 = -1$, то выражение примет вид: $x^2 + 4xi - 4$.

Подставим результат в исходное выражение:

$Z = (x^2 + 4xi - 4) + 5i + xi$

Сгруппируем действительную (не содержащую $i$) и мнимую (содержащую $i$) части:

$Z = (x^2 - 4) + (4x + 5 + x)i = (x^2 - 4) + (5x + 5)i$

Таким образом, действительная часть выражения $Re(Z) = x^2 - 4$, а мнимая часть $Im(Z) = 5x + 5$.

а) действительным числом;

Выражение является действительным числом, когда его мнимая часть равна нулю.

Приравняем мнимую часть к нулю:

$Im(Z) = 5x + 5 = 0$

$5x = -5$

$x = -1$

Ответ: при $x = -1$.

б) мнимым числом?

Выражение является чисто мнимым числом, когда его действительная часть равна нулю, а мнимая часть не равна нулю.

Приравняем действительную часть к нулю:

$Re(Z) = x^2 - 4 = 0$

$x^2 = 4$

Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Необходимо проверить, что при этих значениях $x$ мнимая часть не обращается в ноль:

Если $x = 2$, то $Im(Z) = 5(2) + 5 = 15 \neq 0$.

Если $x = -2$, то $Im(Z) = 5(-2) + 5 = -5 \neq 0$.

Оба значения подходят.

Ответ: при $x = 2$ или $x = -2$.

16.28 Определите все действительные числа $a$, при каждом из которых является действительным числом выражение:

а) $(1 + 4i)^3 + \frac{a + 100i}{1 + i}$;

б) $(2 - 5i)^3 - \frac{(a + 4i)^2}{i^3}$.

Для того чтобы комплексное выражение было действительным числом, его мнимая часть должна быть равна нулю. Мы преобразуем каждое выражение к стандартному виду $z = x + yi$ и приравняем мнимую часть $y$ к нулю.

а) $(1 + 4i)^3 + \frac{a + 100i}{1 + i}$

1. Упростим первое слагаемое $(1 + 4i)^3$, используя формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$ и свойства мнимой единицы ($i^2 = -1$, $i^3 = -i$):

$(1 + 4i)^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot (4i) + 3 \cdot 1 \cdot (4i)^2 + (4i)^3 = 1 + 12i + 3(16i^2) + 64i^3 = 1 + 12i - 48 - 64i = -47 - 52i$.

2. Упростим второе слагаемое $\frac{a + 100i}{1 + i}$, умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное знаменателю число $(1 - i)$:

$\frac{a + 100i}{1 + i} = \frac{(a + 100i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{a - ai + 100i - 100i^2}{1^2 - i^2} = \frac{a - ai + 100i + 100}{1 - (-1)} = \frac{(a + 100) + (100 - a)i}{2} = \frac{a + 100}{2} + \frac{100 - a}{2}i$.

3. Сложим полученные выражения:

$(-47 - 52i) + \left(\frac{a + 100}{2} + \frac{100 - a}{2}i\right) = \left(-47 + \frac{a + 100}{2}\right) + \left(-52 + \frac{100 - a}{2}\right)i$.

4. Приравняем мнимую часть к нулю и решим уравнение относительно $a$:

$-52 + \frac{100 - a}{2} = 0$

$-104 + 100 - a = 0$

$-4 - a = 0$

$a = -4$

Ответ: $a = -4$.

б) $(2 - 5i)^3 - \frac{(a + 4i)^2}{i^3}$

1. Упростим первое слагаемое $(2 - 5i)^3$, используя формулу куба разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$:

$(2 - 5i)^3 = 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot (5i) + 3 \cdot 2 \cdot (5i)^2 - (5i)^3 = 8 - 60i + 6(25i^2) - 125i^3 = 8 - 60i - 150 - 125(-i) = 8 - 60i - 150 + 125i = -142 + 65i$.

2. Упростим второе слагаемое $\frac{(a + 4i)^2}{i^3}$. Сначала возведем в квадрат числитель:

$(a + 4i)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (4i) + (4i)^2 = a^2 + 8ai + 16i^2 = a^2 - 16 + 8ai$.

Знаменатель $i^3 = -i$. Тогда дробь равна:

$\frac{a^2 - 16 + 8ai}{i^3} = \frac{a^2 - 16 + 8ai}{-i}$.

Чтобы избавиться от $i$ в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $i$:

$\frac{(a^2 - 16 + 8ai) \cdot i}{-i \cdot i} = \frac{(a^2 - 16)i + 8ai^2}{-i^2} = \frac{(a^2 - 16)i - 8a}{-(-1)} = -8a + (a^2 - 16)i$.

3. Выполним вычитание:

$(-142 + 65i) - (-8a + (a^2 - 16)i) = -142 + 65i + 8a - (a^2 - 16)i = (-142 + 8a) + (65 - (a^2 - 16))i$.

4. Приравняем мнимую часть к нулю и решим уравнение относительно $a$:

$65 - (a^2 - 16) = 0$

$65 - a^2 + 16 = 0$

$81 - a^2 = 0$

$a^2 = 81$

$a_1 = 9, \quad a_2 = -9$

Ответ: $a = -9, a = 9$.

16.29 Определите все пары $(x; y)$ действительных чисел $x$ и $y$, для каждой из которых выполняется равенство:

a) $(2 + xi)^3 = -46 + yi;$

б) $(y + 5i)(2y + 3i) = x - xi.$

a) Раскроем левую часть равенства $(2 + xi)^3 = -46 + yi$, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
$(2 + xi)^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot (xi) + 3 \cdot 2 \cdot (xi)^2 + (xi)^3 = 8 + 12xi + 6x^2i^2 + x^3i^3$.
Учитывая, что $i^2 = -1$ и $i^3 = -i$, преобразуем выражение:
$8 + 12xi - 6x^2 - x^3i = (8 - 6x^2) + (12x - x^3)i$.
Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Приравняем их к частям выражения $-46 + yi$ и составим систему уравнений:
$\begin{cases} 8 - 6x^2 = -46 \\ 12x - x^3 = y \end{cases}$
Из первого уравнения находим $x$:
$-6x^2 = -46 - 8 \implies -6x^2 = -54 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.
Подставим найденные значения $x$ во второе уравнение:
1) Если $x = 3$, то $y = 12(3) - 3^3 = 36 - 27 = 9$. Получаем пару $(3; 9)$.
2) Если $x = -3$, то $y = 12(-3) - (-3)^3 = -36 - (-27) = -9$. Получаем пару $(-3; -9)$.
Ответ: $(3; 9)$, $(-3; -9)$.

б) Раскроем скобки в левой части равенства $(y + 5i)(2y + 3i) = x - xi$:
$(y + 5i)(2y + 3i) = y \cdot 2y + y \cdot 3i + 5i \cdot 2y + 5i \cdot 3i = 2y^2 + 3yi + 10yi + 15i^2$.
Учитывая, что $i^2 = -1$, преобразуем выражение:
$2y^2 + 13yi - 15 = (2y^2 - 15) + 13yi$.
Приравняем действительные и мнимые части к частям выражения $x - xi = x + (-x)i$ и составим систему уравнений:
$\begin{cases} 2y^2 - 15 = x \\ 13y = -x \end{cases}$
Подставим $x = -13y$ из второго уравнения в первое:
$2y^2 - 15 = -13y$.
Перепишем в виде стандартного квадратного уравнения:
$2y^2 + 13y - 15 = 0$.
Решим его. Дискриминант $D = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 169 + 120 = 289 = 17^2$.
Корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{-13 + 17}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
$y_2 = \frac{-13 - 17}{2 \cdot 2} = \frac{-30}{4} = -\frac{15}{2}$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$ из уравнения $x = -13y$:
1) Если $y = 1$, то $x = -13(1) = -13$. Получаем пару $(-13; 1)$.
2) Если $y = -\frac{15}{2}$, то $x = -13(-\frac{15}{2}) = \frac{195}{2}$. Получаем пару $(\frac{195}{2}; -\frac{15}{2})$.
Ответ: $(-13; 1)$, $(\frac{195}{2}; -\frac{15}{2})$.

16.30 Найдите все комплексные числа $z$, удовлетворяющие двум условиям:

а) $z^2 = -15 + 8i$ и $\text{Im } z > 0;

б) $z^2 = 5 + 12i$ и $\text{Re } z < 0.

a) Требуется найти комплексное число $z$, удовлетворяющее условиям $z^2 = -15 + 8i$ и $\text{Im } z > 0$.

Представим искомое комплексное число $z$ в алгебраической форме: $z = x + iy$, где $x$ и $y$ – действительные числа. Условие $\text{Im } z > 0$ означает, что $y > 0$.

Возведем $z$ в квадрат:

$z^2 = (x + iy)^2 = x^2 + 2ixy + (iy)^2 = x^2 + 2ixy - y^2 = (x^2 - y^2) + i(2xy)$.

Согласно условию, $z^2 = -15 + 8i$. Приравнивая действительные и мнимые части двух выражений для $z^2$, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = -15 \\ 2xy = 8 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$: $xy = 4 \implies x = \frac{4}{y}$. (Мы можем делить на $y$, так как по условию $y > 0$, следовательно $y \neq 0$).

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(\frac{4}{y})^2 - y^2 = -15$

$\frac{16}{y^2} - y^2 = -15$

Умножим обе части уравнения на $y^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$16 - y^4 = -15y^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить биквадратное уравнение:

$y^4 - 15y^2 - 16 = 0$

Сделаем замену переменной $t = y^2$. Поскольку $y$ – действительное число и $y > 0$, то $t > 0$. Уравнение принимает вид:

$t^2 - 15t - 16 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Можно использовать формулу для корней квадратного уравнения или теорему Виета. Корни: $t_1 = 16$ и $t_2 = -1$.

Поскольку $t = y^2$ должно быть положительным, корень $t_2 = -1$ является посторонним.

Таким образом, $y^2 = 16$. Отсюда $y = \pm 4$.

Учитывая условие $\text{Im } z > 0$, то есть $y > 0$, выбираем значение $y = 4$.

Теперь найдем соответствующее значение $x$ из соотношения $x = \frac{4}{y}$:

$x = \frac{4}{4} = 1$.

Следовательно, искомое комплексное число $z = 1 + 4i$.

Проверим: $(1 + 4i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 4i + (4i)^2 = 1 + 8i - 16 = -15 + 8i$. Условие $\text{Im}(1+4i) = 4 > 0$ также выполнено.

Ответ: $z = 1 + 4i$.

б) Требуется найти комплексное число $z$, удовлетворяющее условиям $z^2 = 5 + 12i$ и $\text{Re } z < 0$.

Представим $z$ в алгебраической форме: $z = x + iy$, где $x$ и $y$ – действительные числа. Условие $\text{Re } z < 0$ означает, что $x < 0$.

Возводим $z$ в квадрат: $z^2 = (x^2 - y^2) + i(2xy)$.

Приравнивая это выражение к $5 + 12i$, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 5 \\ 2xy = 12 \end{cases}$

Из второго уравнения $xy = 6$. Выразим $y$ через $x$: $y = \frac{6}{x}$. (Мы можем делить на $x$, так как по условию $x < 0$, следовательно $x \neq 0$).

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 - (\frac{6}{x})^2 = 5$

$x^2 - \frac{36}{x^2} = 5$

Умножим обе части уравнения на $x^2$:

$x^4 - 36 = 5x^2$

Перепишем в виде биквадратного уравнения:

$x^4 - 5x^2 - 36 = 0$

Сделаем замену переменной $t = x^2$. Поскольку $x$ – действительное число и $x < 0$, то $t > 0$. Уравнение принимает вид:

$t^2 - 5t - 36 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Корни: $t_1 = 9$ и $t_2 = -4$.

Поскольку $t = x^2$ должно быть положительным, корень $t_2 = -4$ является посторонним.

Таким образом, $x^2 = 9$. Отсюда $x = \pm 3$.

Учитывая условие $\text{Re } z < 0$, то есть $x < 0$, выбираем значение $x = -3$.

Теперь найдем соответствующее значение $y$ из соотношения $y = \frac{6}{x}$:

$y = \frac{6}{-3} = -2$.

Следовательно, искомое комплексное число $z = -3 - 2i$.

Проверим: $(-3 - 2i)^2 = (-(3 + 2i))^2 = (3 + 2i)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 2i + (2i)^2 = 9 + 12i - 4 = 5 + 12i$. Условие $\text{Re}(-3-2i) = -3 < 0$ также выполнено.

Ответ: $z = -3 - 2i$.