Номер 16.23, страница 384 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 16.23, страница 384.

Условие.

16.23 Пусть дано комплексное число $z = a + bi$. Какое комплексное число называют:

а) противоположным числу $z$;

б) обратным числу $z$ ($z \neq 0$)?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) противоположным числу z;

Противоположным для комплексного числа $z = a + bi$ называется такое число, которое в сумме с числом $z$ дает ноль. Ноль в комплексных числах — это $0 + 0i$. Обозначим противоположное число как $-z$.

Условие можно записать в виде уравнения: $z + (-z) = 0$.

Пусть искомое противоположное число равно $x + yi$. Тогда:

$(a + bi) + (x + yi) = 0 + 0i$

Складывая действительные и мнимые части по отдельности, получаем:

$(a + x) + (b + y)i = 0 + 0i$

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Таким образом, мы получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} a + x = 0 \\ b + y = 0 \end{cases} $

Решая эту систему, находим $x = -a$ и $y = -b$.

Следовательно, число, противоположное $z = a + bi$, есть $-z = -a - bi$.

Ответ: $-z = -a - bi$.

б) обратным числу z (z ≠ 0)?

Обратным для ненулевого комплексного числа $z = a + bi$ называется такое число, которое при умножении на $z$ дает единицу. Единица в комплексных числах — это $1 + 0i$. Обозначим обратное число как $z^{-1}$ или $\frac{1}{z}$.

Условие можно записать в виде уравнения: $z \cdot z^{-1} = 1$.

Отсюда мы можем выразить $z^{-1}$:

$z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{1}{a + bi}$

Чтобы представить это число в стандартной алгебраической форме, нужно избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на число, комплексно-сопряженное к знаменателю, то есть на $\bar{z} = a - bi$.

$z^{-1} = \frac{1}{a + bi} \cdot \frac{a - bi}{a - bi} = \frac{a - bi}{(a + bi)(a - bi)}$

В знаменателе мы используем формулу $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. С учетом того, что $i^2 = -1$:

$(a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2i^2 = a^2 - b^2(-1) = a^2 + b^2$

Это выражение ($a^2 + b^2$) является квадратом модуля комплексного числа $z$, т.е. $|z|^2$. Так как по условию $z \neq 0$, то и $a^2+b^2 \neq 0$.

Подставим полученное выражение для знаменателя обратно:

$z^{-1} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2}$

Теперь разделим дробь на действительную и мнимую части:

$z^{-1} = \frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{b}{a^2 + b^2}i$

Ответ: $z^{-1} = \frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{b}{a^2 + b^2}i$.