Номер 16.18, страница 383 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 16.18, страница 383.

Условие.

16.18 a) $(3 + 2i) : (1 + 5i)$;

В) $(-5 + i) : (1 - 4i)$;

Д) $(5 + 7i) : (5 - i)$;

б) $(3 - 11i) : (4 + 15i)$;

Г) $(8 + i) : (-8 + i)$;

e) $(8 - i) : (8 - i)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Чтобы найти частное двух комплексных чисел $(3 + 2i) : (1 + 5i)$, нужно умножить делимое и делитель на число, сопряженное делителю. Сопряженным к $1 + 5i$ является $1 - 5i$.
$\frac{3 + 2i}{1 + 5i} = \frac{(3 + 2i)(1 - 5i)}{(1 + 5i)(1 - 5i)} = \frac{3 \cdot 1 - 3 \cdot 5i + 2i \cdot 1 - 2i \cdot 5i}{1^2 + 5^2} = \frac{3 - 15i + 2i - 10i^2}{1 + 25}$
Так как $i^2 = -1$, получаем:
$\frac{3 - 13i - 10(-1)}{26} = \frac{3 - 13i + 10}{26} = \frac{13 - 13i}{26} = \frac{13}{26} - \frac{13}{26}i = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$
Ответ: $\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$

б) Выполним деление $(3 - 11i) : (4 + 15i)$. Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, т.е. на $4 - 15i$.
$\frac{3 - 11i}{4 + 15i} = \frac{(3 - 11i)(4 - 15i)}{(4 + 15i)(4 - 15i)} = \frac{3 \cdot 4 - 3 \cdot 15i - 11i \cdot 4 + 11i \cdot 15i}{4^2 + 15^2} = \frac{12 - 45i - 44i + 165i^2}{16 + 225}$
Заменим $i^2$ на $-1$:
$\frac{12 - 89i + 165(-1)}{241} = \frac{12 - 89i - 165}{241} = \frac{-153 - 89i}{241} = -\frac{153}{241} - \frac{89}{241}i$
Ответ: $-\frac{153}{241} - \frac{89}{241}i$

в) Выполним деление $(-5 + i) : (1 - 4i)$. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю, т.е. на $1 + 4i$.
$\frac{-5 + i}{1 - 4i} = \frac{(-5 + i)(1 + 4i)}{(1 - 4i)(1 + 4i)} = \frac{-5 \cdot 1 - 5 \cdot 4i + i \cdot 1 + i \cdot 4i}{1^2 + (-4)^2} = \frac{-5 - 20i + i + 4i^2}{1 + 16}$
Учитывая, что $i^2 = -1$:
$\frac{-5 - 19i + 4(-1)}{17} = \frac{-5 - 19i - 4}{17} = \frac{-9 - 19i}{17} = -\frac{9}{17} - \frac{19}{17}i$
Ответ: $-\frac{9}{17} - \frac{19}{17}i$

г) Выполним деление $(8 + i) : (-8 + i)$. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю, т.е. на $-8 - i$.
$\frac{8 + i}{-8 + i} = \frac{(8 + i)(-8 - i)}{(-8 + i)(-8 - i)} = \frac{8(-8) - 8i - 8i - i^2}{(-8)^2 + 1^2} = \frac{-64 - 16i - i^2}{64 + 1}$
Подставим $i^2 = -1$:
$\frac{-64 - 16i - (-1)}{65} = \frac{-64 - 16i + 1}{65} = \frac{-63 - 16i}{65} = -\frac{63}{65} - \frac{16}{65}i$
Ответ: $-\frac{63}{65} - \frac{16}{65}i$

д) Выполним деление $(5 + 7i) : (5 - i)$. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю, т.е. на $5 + i$.
$\frac{5 + 7i}{5 - i} = \frac{(5 + 7i)(5 + i)}{(5 - i)(5 + i)} = \frac{5 \cdot 5 + 5i + 7i \cdot 5 + 7i \cdot i}{5^2 + (-1)^2} = \frac{25 + 5i + 35i + 7i^2}{25 + 1}$
Подставим $i^2 = -1$:
$\frac{25 + 40i + 7(-1)}{26} = \frac{25 + 40i - 7}{26} = \frac{18 + 40i}{26} = \frac{18}{26} + \frac{40}{26}i = \frac{9}{13} + \frac{20}{13}i$
Ответ: $\frac{9}{13} + \frac{20}{13}i$

е) Выполним деление $(8 - i) : (8 - i)$.
Любое ненулевое комплексное число, разделенное на само себя, равно 1. Поскольку $8 - i \neq 0$, то:
$\frac{8 - i}{8 - i} = 1$
Можно также проверить это, умножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю $8+i$:
$\frac{(8 - i)(8 + i)}{(8 - i)(8 + i)} = \frac{8^2 - i^2}{8^2 - i^2} = \frac{64 - (-1)}{64 - (-1)} = \frac{65}{65} = 1$
Ответ: $1$