Номер 16.13, страница 383 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 16.13, страница 383.

Условие.

16.13 Что называют разностью комплексных чисел $z_1 = a_1 + b_1 i$ и $z_2 = a_2 + b_2 i$? Докажите, что для любых комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ их разность существует, единственна и вычисляется по правилу $z_3 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Что называют разностью комплексных чисел $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$?

Разностью комплексных чисел $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$ называют такое комплексное число $z_3$, которое при сложении с вычитаемым $z_2$ дает уменьшаемое $z_1$. Иными словами, $z_3$ является решением уравнения $z_2 + z_3 = z_1$. Разность обозначается как $z_1 - z_2$.

Докажите, что для любых комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ их разность существует, единственна и вычисляется по правилу $z_3 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i$.

Пусть даны два комплексных числа $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$. Мы ищем их разность, то есть комплексное число $z_3 = x + yi$ (где $x$ и $y$ — действительные числа), такое что по определению выполняется равенство:

$z_2 + z_3 = z_1$

Подставим в это уравнение алгебраические формы комплексных чисел:

$(a_2 + b_2i) + (x + yi) = a_1 + b_1i$

По правилу сложения комплексных чисел, левая часть уравнения преобразуется к виду:

$(a_2 + x) + (b_2 + y)i = a_1 + b_1i$

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Приравнивая их, получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными $x$ и $y$:

$\begin{cases} a_2 + x = a_1 \\ b_2 + y = b_1 \end{cases}$

Решим эту систему относительно $x$ и $y$:

$x = a_1 - a_2$

$y = b_1 - b_2$

Проанализируем полученный результат:

Существование: Поскольку $a_1, a_2, b_1, b_2$ являются действительными числами, то и их разности $x = a_1 - a_2$ и $y = b_1 - b_2$ также являются действительными числами. Это означает, что всегда существует комплексное число $z_3 = x + yi$, которое является искомой разностью.

Единственность: Система линейных уравнений для данных $a_1, a_2, b_1, b_2$ имеет единственное решение для $x$ и $y$. Так как комплексное число однозначно определяется своей действительной и мнимой частями, то разность $z_3$ также единственна.

Правило вычисления: Мы нашли, что действительная часть искомой разности равна $x = a_1 - a_2$, а мнимая часть равна $y = b_1 - b_2$. Следовательно, разность $z_3$ вычисляется по формуле:

$z_3 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i$

Таким образом, доказано, что разность двух любых комплексных чисел существует, единственна и вычисляется по указанному правилу.

Ответ: Разностью комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ называют такое комплексное число $z_3$, что $z_2 + z_3 = z_1$. Для любых комплексных чисел $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$ их разность существует, единственна и вычисляется по формуле $z_3 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i$.