Номер 16.8, страница 383 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел - номер 16.8, страница 383.

Условие.

16.8 Что называют произведением комплексных чисел $a + bi$ и $c + di$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

16.8

Произведением двух комплексных чисел $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$ называют комплексное число, полученное в результате их перемножения по правилам умножения многочленов, с последующим учётом основного свойства мнимой единицы: $i^2 = -1$.

Давайте выведем формулу для произведения. Для этого перемножим два комплексных числа как двучлены, используя распределительный закон:
$(a + bi)(c + di) = a \cdot c + a \cdot (di) + (bi) \cdot c + (bi) \cdot (di)$

Раскроем скобки:
$ac + adi + bci + bdi^2$

Теперь воспользуемся свойством мнимой единицы $i^2 = -1$ и подставим это значение в выражение:
$ac + adi + bci + bd(-1) = ac + adi + bci - bd$

Для получения стандартной формы комплексного числа $x + yi$, сгруппируем отдельно действительные слагаемые (те, что не содержат $i$) и мнимые слагаемые (те, что содержат $i$):
$(ac - bd) + (adi + bci)$

В мнимой части вынесем $i$ за скобки:
$(ac - bd) + (ad + bc)i$

В результате мы получили комплексное число, где действительная часть равна $(ac - bd)$, а мнимая часть равна $(ad + bc)$.

Ответ: Произведением комплексных чисел $a + bi$ и $c + di$ называют комплексное число $(ac - bd) + (ad + bc)i$.