Номер 16.11, страница 383 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 16.11, страница 383.

Условие.

16.11 Запишите основные законы сложения и умножения комплексных чисел, сформулируйте их.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для любых комплексных чисел $z_1, z_2, z_3$ из множества комплексных чисел $\mathbb{C}$ выполняются следующие основные законы (свойства) для операций сложения и умножения. Эти законы аналогичны законам для действительных чисел.

1. Переместительный (коммутативный) закон сложения

Этот закон утверждает, что результат сложения двух комплексных чисел не зависит от порядка, в котором они складываются. То есть от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Если $z_1$ и $z_2$ — любые комплексные числа, то их сложение коммутативно. Это свойство напрямую следует из коммутативности сложения действительных чисел, так как действительные и мнимые части складываются отдельно.

Формула: $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$.

Ответ: Переместительный закон сложения: сумма комплексных чисел не зависит от порядка слагаемых, $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$.

2. Сочетательный (ассоциативный) закон сложения

Этот закон гласит, что при сложении трех или более комплексных чисел результат не зависит от способа группировки слагаемых (от расстановки скобок). Сложение комплексных чисел $z_1, z_2, z_3$ ассоциативно. Это свойство также следует из ассоциативности сложения действительных чисел.

Формула: $(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$.

Ответ: Сочетательный закон сложения: при сложении трех и более комплексных чисел их можно группировать произвольно, $(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$.

3. Переместительный (коммутативный) закон умножения

Этот закон утверждает, что результат умножения двух комплексных чисел не зависит от порядка сомножителей. То есть от перемены мест сомножителей произведение не меняется. Для любых комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ их умножение коммутативно.

Формула: $z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1$.

Ответ: Переместительный закон умножения: произведение комплексных чисел не зависит от порядка сомножителей, $z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1$.

4. Сочетательный (ассоциативный) закон умножения

Этот закон гласит, что при умножении трех или более комплексных чисел результат не зависит от способа группировки сомножителей. Умножение комплексных чисел $z_1, z_2, z_3$ ассоциативно.

Формула: $(z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3)$.

Ответ: Сочетательный закон умножения: при умножении трех и более комплексных чисел их можно группировать произвольно, $(z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3)$.

5. Распределительный (дистрибутивный) закон

Этот закон связывает операции сложения и умножения. Он утверждает, что умножение комплексного числа на сумму двух других чисел равно сумме произведений этого числа на каждое из слагаемых. Этот закон также называют дистрибутивностью умножения относительно сложения.

Формула: $z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3$.

Ответ: Распределительный закон: умножение комплексного числа на сумму можно раскрыть как сумму произведений, $z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3$.