Страница 383 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

16.6 Что называют действительной частью, мнимой частью числа $z = a + bi$? Как обозначают действительную часть, мнимую часть числа $z = a + bi$?

Что называют действительной частью, мнимой частью числа z = a + bi?

В алгебраической записи комплексного числа $z = a + bi$, где $a$ и $b$ являются действительными числами, а $i$ — это мнимая единица (такая, что $i^2 = -1$), приняты следующие определения:

• Число $a$ (слагаемое, не содержащее мнимую единицу) называют действительной частью или вещественной частью комплексного числа $z$.
• Число $b$ (коэффициент при мнимой единице $i$) называют мнимой частью комплексного числа $z$. Важно понимать, что мнимая часть — это действительное число $b$, а не произведение $bi$.

Например, для числа $z = -3 + 7i$ действительная часть равна $-3$, а мнимая часть равна $7$.

Ответ: Действительной частью числа $z = a + bi$ называют действительное число $a$. Мнимой частью числа $z = a + bi$ называют действительное число $b$.

Как обозначают действительную часть, мнимую часть числа z = a + bi?

Для действительной и мнимой частей комплексного числа $z$ используются стандартные международные обозначения, происходящие от латинских слов realis (действительный) и imaginarius (мнимый):

• Действительная часть обозначается как $\text{Re}(z)$ или $\Re(z)$.
• Мнимая часть обозначается как $\text{Im}(z)$ или $\Im(z)$.

Таким образом, если $z = a + bi$, то:
$\text{Re}(z) = a$
$\text{Im}(z) = b$

Например, для комплексного числа $z = \sqrt{2} - 5i$:
$\text{Re}(z) = \sqrt{2}$
$\text{Im}(z) = -5$

Ответ: Действительную часть числа $z$ обозначают как $\text{Re}(z)$ или $\Re(z)$, а мнимую часть — как $\text{Im}(z)$ или $\Im(z)$.

16.7 Что называют суммой комплексных чисел $a + bi$ и $c + di$?

Суммой двух комплексных чисел $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$, где $a, b, c, d$ — действительные числа, а $i$ — мнимая единица ($i^2 = -1$), называется комплексное число, действительная часть которого равна сумме действительных частей исходных чисел, а мнимая часть — сумме их мнимых частей.

Чтобы найти сумму, необходимо выполнить сложение действительных и мнимых частей по отдельности. Алгебраически это выглядит как сложение многочленов, где $i$ выступает в роли переменной:
$(a + bi) + (c + di) = a + bi + c + di$
Далее мы группируем действительные слагаемые $(a \text{ и } c)$ и мнимые слагаемые $(bi \text{ и } di)$:
$(a + c) + (bi + di)$
И выносим мнимую единицу $i$ за скобки:
$(a + c) + (b + d)i$

Таким образом, итоговая формула для сложения двух комплексных чисел:
$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$

Пример:
Найдем сумму комплексных чисел $3 + 5i$ и $4 - 2i$.
$(3 + 5i) + (4 - 2i) = (3 + 4) + (5 - 2)i = 7 + 3i$.

Геометрическая интерпретация:
На комплексной плоскости каждое комплексное число $z = x + yi$ можно представить в виде вектора, идущего из начала координат $(0,0)$ в точку $(x,y)$. Сложение двух комплексных чисел геометрически соответствует сложению их векторов по правилу параллелограмма. Координаты результирующего вектора будут равны суммам соответствующих координат исходных векторов, что и дает нам действительную и мнимую части суммы комплексных чисел.

Ответ: Суммой комплексных чисел $a + bi$ и $c + di$ называют комплексное число $(a + c) + (b + d)i$.

16.8 Что называют произведением комплексных чисел $a + bi$ и $c + di$?

16.8

Произведением двух комплексных чисел $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$ называют комплексное число, полученное в результате их перемножения по правилам умножения многочленов, с последующим учётом основного свойства мнимой единицы: $i^2 = -1$.

Давайте выведем формулу для произведения. Для этого перемножим два комплексных числа как двучлены, используя распределительный закон:
$(a + bi)(c + di) = a \cdot c + a \cdot (di) + (bi) \cdot c + (bi) \cdot (di)$

Раскроем скобки:
$ac + adi + bci + bdi^2$

Теперь воспользуемся свойством мнимой единицы $i^2 = -1$ и подставим это значение в выражение:
$ac + adi + bci + bd(-1) = ac + adi + bci - bd$

Для получения стандартной формы комплексного числа $x + yi$, сгруппируем отдельно действительные слагаемые (те, что не содержат $i$) и мнимые слагаемые (те, что содержат $i$):
$(ac - bd) + (adi + bci)$

В мнимой части вынесем $i$ за скобки:
$(ac - bd) + (ad + bc)i$

В результате мы получили комплексное число, где действительная часть равна $(ac - bd)$, а мнимая часть равна $(ad + bc)$.

Ответ: Произведением комплексных чисел $a + bi$ и $c + di$ называют комплексное число $(ac - bd) + (ad + bc)i$.

16.9° Как вычисляют сумму, произведение нескольких комплексных чисел?

Комплексные числа — это числа вида $z = a + bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа, а $i$ — мнимая единица, для которой выполняется равенство $i^2 = -1$. Число $a$ называется действительной (вещественной) частью числа $z$, а число $b$ — мнимой частью.

Рассмотрим правила вычисления суммы и произведения для нескольких комплексных чисел.

Сумма

Чтобы найти сумму нескольких комплексных чисел, нужно сложить их действительные и мнимые части по отдельности.

Пусть даны $n$ комплексных чисел, записанных в алгебраической форме: $z_1 = a_1 + b_1i$, $z_2 = a_2 + b_2i$, ..., $z_n = a_n + b_ni$.

Их сумма $Z = z_1 + z_2 + ... + z_n$ вычисляется по формуле: $Z = (a_1 + a_2 + ... + a_n) + (b_1 + b_2 + ... + b_n)i$

Это можно записать с использованием знака суммы: $\sum_{k=1}^{n} z_k = \left(\sum_{k=1}^{n} a_k\right) + \left(\sum_{k=1}^{n} b_k\right)i$

Пример для двух чисел: Пусть $z_1 = 3 + 2i$ и $z_2 = 5 - 4i$. Их сумма: $z_1 + z_2 = (3 + 5) + (2 + (-4))i = 8 + (2 - 4)i = 8 - 2i$.

Пример для трех чисел: Пусть $z_1 = 1+i$, $z_2 = 2-3i$ и $z_3 = -4+i$. Их сумма: $z_1 + z_2 + z_3 = (1 + 2 + (-4)) + (1 + (-3) + 1)i = (1 + 2 - 4) + (1 - 3 + 1)i = -1 - i$.

Ответ: Сумма нескольких комплексных чисел есть комплексное число, действительная часть которого равна сумме действительных частей слагаемых, а мнимая часть — сумме мнимых частей слагаемых.

Произведение

Произведение нескольких комплексных чисел вычисляется путем их последовательного перемножения. Это можно сделать двумя основными способами.

1. В алгебраической форме. При перемножении двух комплексных чисел $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$ их перемножают как двучлены, учитывая, что $i^2 = -1$: $z_1 \cdot z_2 = (a_1 + b_1i)(a_2 + b_2i) = a_1a_2 + a_1b_2i + b_1ia_2 + b_1b_2i^2$ $z_1 \cdot z_2 = a_1a_2 + (a_1b_2 + a_2b_1)i - b_1b_2 = (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)i$

Пример для двух чисел: Пусть $z_1 = 3 + 2i$ и $z_2 = 1 - 5i$. $z_1 \cdot z_2 = (3 \cdot 1 - 2 \cdot (-5)) + (3 \cdot (-5) + 2 \cdot 1)i = (3 + 10) + (-15 + 2)i = 13 - 13i$.

Чтобы перемножить несколько чисел, например, $z_1, z_2, z_3$, нужно сначала найти произведение $z_1 \cdot z_2$, а затем полученный результат умножить на $z_3$.

2. В тригонометрической (или показательной) форме. Этот способ часто бывает удобнее для перемножения большого количества чисел. Комплексное число в тригонометрической форме: $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r$ — модуль числа, а $\varphi$ — его аргумент. В показательной форме: $z = re^{i\varphi}$.

При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Для двух чисел $z_1 = r_1(\cos\varphi_1 + i\sin\varphi_1)$ и $z_2 = r_2(\cos\varphi_2 + i\sin\varphi_2)$: $z_1 \cdot z_2 = r_1r_2(\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2))$

Для произведения $n$ чисел: $\prod_{k=1}^{n} z_k = \left(\prod_{k=1}^{n} r_k\right) \cdot \left(\cos\left(\sum_{k=1}^{n} \varphi_k\right) + i\sin\left(\sum_{k=1}^{n} \varphi_k\right)\right)$

Ответ: Чтобы перемножить несколько комплексных чисел в алгебраической форме, их перемножают последовательно как двучлены, заменяя $i^2$ на $-1$ и приводя подобные члены. При использовании тригонометрической формы модули чисел перемножаются, а их аргументы складываются.

16.10 Что называют n-й степенью ($n \in N$) комплексного числа $z$?

n-й степенью комплексного числа $z$, где $n$ является натуральным числом ($n \in N$), называют комплексное число $z^n$, которое является результатом умножения числа $z$ на само себя $n$ раз. Это можно записать как:
$z^n = \underbrace{z \cdot z \cdot \dots \cdot z}_{n \text{ раз}}$

Данное определение можно также представить в рекурсивном виде: $z^1 = z$ и $z^n = z^{n-1} \cdot z$ для всех $n > 1$. Это определение полностью аналогично операции возведения в степень для действительных чисел.

Практическое вычисление $n$-й степени комплексного числа существенно зависит от формы его записи.

При использовании алгебраической формы $z = a + bi$ для возведения в степень можно применить формулу бинома Ньютона: $z^n = (a + bi)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} (bi)^k$. Этот метод требует громоздких вычислений, особенно при больших значениях $n$, так как необходимо раскрывать скобки и группировать действительные и мнимые части, учитывая степени мнимой единицы ($i^2 = -1$, $i^3 = -i$ и т.д.).

Гораздо более эффективным является возведение в степень в тригонометрической форме. Если комплексное число представлено в виде $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r = |z|$ — его модуль, а $\varphi = \arg(z)$ — аргумент, то для вычисления $n$-й степени используется знаменитая формула Муавра:
$z^n = [r(\cos\varphi + i\sin\varphi)]^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$.
Таким образом, чтобы возвести комплексное число в степень $n$, нужно возвести его модуль в степень $n$ и умножить его аргумент на $n$.

В показательной (экспоненциальной) форме, которая тесно связана с тригонометрической через формулу Эйлера, вычисление степени выглядит наиболее лаконично. Для числа $z = re^{i\varphi}$ его $n$-я степень равна:
$z^n = (re^{i\varphi})^n = r^n e^{in\varphi}$.
Это является, по сути, другой, более компактной записью формулы Муавра.

Ответ: N-й степенью ($n \in N$) комплексного числа $z$ называется число $z^n$, равное произведению $n$ множителей, каждый из которых равен $z$. Для вычисления $z^n$ наиболее удобной является формула Муавра: если число представлено в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, то его $n$-я степень равна $z^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$.

16.11 Запишите основные законы сложения и умножения комплексных чисел, сформулируйте их.

Для любых комплексных чисел $z_1, z_2, z_3$ из множества комплексных чисел $\mathbb{C}$ выполняются следующие основные законы (свойства) для операций сложения и умножения. Эти законы аналогичны законам для действительных чисел.

1. Переместительный (коммутативный) закон сложения

Этот закон утверждает, что результат сложения двух комплексных чисел не зависит от порядка, в котором они складываются. То есть от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Если $z_1$ и $z_2$ — любые комплексные числа, то их сложение коммутативно. Это свойство напрямую следует из коммутативности сложения действительных чисел, так как действительные и мнимые части складываются отдельно.

Формула: $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$.

Ответ: Переместительный закон сложения: сумма комплексных чисел не зависит от порядка слагаемых, $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$.

2. Сочетательный (ассоциативный) закон сложения

Этот закон гласит, что при сложении трех или более комплексных чисел результат не зависит от способа группировки слагаемых (от расстановки скобок). Сложение комплексных чисел $z_1, z_2, z_3$ ассоциативно. Это свойство также следует из ассоциативности сложения действительных чисел.

Формула: $(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$.

Ответ: Сочетательный закон сложения: при сложении трех и более комплексных чисел их можно группировать произвольно, $(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$.

3. Переместительный (коммутативный) закон умножения

Этот закон утверждает, что результат умножения двух комплексных чисел не зависит от порядка сомножителей. То есть от перемены мест сомножителей произведение не меняется. Для любых комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ их умножение коммутативно.

Формула: $z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1$.

Ответ: Переместительный закон умножения: произведение комплексных чисел не зависит от порядка сомножителей, $z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1$.

4. Сочетательный (ассоциативный) закон умножения

Этот закон гласит, что при умножении трех или более комплексных чисел результат не зависит от способа группировки сомножителей. Умножение комплексных чисел $z_1, z_2, z_3$ ассоциативно.

Формула: $(z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3)$.

Ответ: Сочетательный закон умножения: при умножении трех и более комплексных чисел их можно группировать произвольно, $(z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3)$.

5. Распределительный (дистрибутивный) закон

Этот закон связывает операции сложения и умножения. Он утверждает, что умножение комплексного числа на сумму двух других чисел равно сумме произведений этого числа на каждое из слагаемых. Этот закон также называют дистрибутивностью умножения относительно сложения.

Формула: $z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3$.

Ответ: Распределительный закон: умножение комплексного числа на сумму можно раскрыть как сумму произведений, $z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3$.

16.12 Докажите справедливость основных законов сложения и умножения комплексных чисел.

Для доказательства справедливости основных законов сложения и умножения комплексных чисел введем три произвольных комплексных числа в алгебраической форме: $z_1 = a_1 + ib_1$, $z_2 = a_2 + ib_2$ и $z_3 = a_3 + ib_3$, где $a_1, b_1, a_2, b_2, a_3, b_3$ являются действительными числами, а $i$ — мнимая единица, для которой выполняется равенство $i^2 = -1$. Все доказательства основываются на соответствующих законах для действительных чисел.

1. Коммутативный (переместительный) закон сложения: $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$

Вычислим левую часть равенства, используя определение сложения комплексных чисел:$z_1 + z_2 = (a_1 + ib_1) + (a_2 + ib_2) = (a_1 + a_2) + i(b_1 + b_2)$.

Теперь вычислим правую часть равенства:$z_2 + z_1 = (a_2 + ib_2) + (a_1 + ib_1) = (a_2 + a_1) + i(b_2 + b_1)$.

Поскольку для действительных чисел сложение коммутативно ($a_1 + a_2 = a_2 + a_1$ и $b_1 + b_2 = b_2 + b_1$), действительные и мнимые части обоих выражений равны. Следовательно, $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$.

Ответ: Справедливость коммутативного закона сложения доказана.

2. Ассоциативный (сочетательный) закон сложения: $(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$

Преобразуем левую часть равенства:$(z_1 + z_2) + z_3 = ((a_1 + a_2) + i(b_1 + b_2)) + (a_3 + ib_3) = ((a_1 + a_2) + a_3) + i((b_1 + b_2) + b_3)$.

Преобразуем правую часть равенства:$z_1 + (z_2 + z_3) = (a_1 + ib_1) + ((a_2 + a_3) + i(b_2 + b_3)) = (a_1 + (a_2 + a_3)) + i(b_1 + (b_2 + b_3))$.

Так как сложение действительных чисел ассоциативно ($(a_1 + a_2) + a_3 = a_1 + (a_2 + a_3)$), левая и правая части равенства равны.

Ответ: Справедливость ассоциативного закона сложения доказана.

3. Коммутативный (переместительный) закон умножения: $z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1$

Вычислим левую часть, используя определение умножения комплексных чисел:$z_1 \cdot z_2 = (a_1 + ib_1)(a_2 + ib_2) = (a_1a_2 - b_1b_2) + i(a_1b_2 + b_1a_2)$.

Вычислим правую часть:$z_2 \cdot z_1 = (a_2 + ib_2)(a_1 + ib_1) = (a_2a_1 - b_2b_1) + i(a_2b_1 + b_2a_1)$.

В силу коммутативности сложения и умножения действительных чисел ($a_1a_2 = a_2a_1$, $b_1b_2 = b_2b_1$ и $a_1b_2 + b_1a_2 = b_2a_1 + a_2b_1$), действительные и мнимые части выражений равны.

Ответ: Справедливость коммутативного закона умножения доказана.

4. Ассоциативный (сочетательный) закон умножения: $(z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3)$

Преобразуем левую часть:$(z_1 z_2) z_3 = ((a_1a_2 - b_1b_2) + i(a_1b_2 + b_1a_2))(a_3 + ib_3)$$= (a_1a_2a_3 - b_1b_2a_3 - a_1b_2b_3 - b_1a_2b_3) + i(a_1a_2b_3 - b_1b_2b_3 + a_1b_2a_3 + b_1a_2a_3)$.

Преобразуем правую часть:$z_1 (z_2 z_3) = (a_1 + ib_1)((a_2a_3 - b_2b_3) + i(a_2b_3 + b_2a_3))$$= (a_1a_2a_3 - a_1b_2b_3 - b_1a_2b_3 - b_1b_2a_3) + i(a_1a_2b_3 + a_1b_2a_3 + b_1a_2a_3 - b_1b_2b_3)$.

Используя ассоциативность и коммутативность операций над действительными числами, можно убедиться, что действительные и мнимые части обоих выражений совпадают.

Ответ: Справедливость ассоциативного закона умножения доказана.

5. Дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно сложения: $z_1(z_2 + z_3) = z_1z_2 + z_1z_3$

Преобразуем левую часть:$z_1(z_2 + z_3) = (a_1 + ib_1)((a_2+a_3) + i(b_2+b_3))$$= (a_1(a_2+a_3) - b_1(b_2+b_3)) + i(a_1(b_2+b_3) + b_1(a_2+a_3))$$= (a_1a_2 + a_1a_3 - b_1b_2 - b_1b_3) + i(a_1b_2 + a_1b_3 + b_1a_2 + b_1a_3)$.

Преобразуем правую часть:$z_1z_2 + z_1z_3 = ((a_1a_2 - b_1b_2) + i(a_1b_2 + b_1a_2)) + ((a_1a_3 - b_1b_3) + i(a_1b_3 + b_1a_3))$$= (a_1a_2 - b_1b_2 + a_1a_3 - b_1b_3) + i(a_1b_2 + b_1a_2 + a_1b_3 + b_1a_3)$.

Сравнивая и перегруппировывая слагаемые в действительной и мнимой частях (что возможно благодаря свойствам действительных чисел), видим, что выражения равны.

Ответ: Справедливость дистрибутивного закона доказана.

16.13 Что называют разностью комплексных чисел $z_1 = a_1 + b_1 i$ и $z_2 = a_2 + b_2 i$? Докажите, что для любых комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ их разность существует, единственна и вычисляется по правилу $z_3 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i$.

Что называют разностью комплексных чисел $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$?

Разностью комплексных чисел $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$ называют такое комплексное число $z_3$, которое при сложении с вычитаемым $z_2$ дает уменьшаемое $z_1$. Иными словами, $z_3$ является решением уравнения $z_2 + z_3 = z_1$. Разность обозначается как $z_1 - z_2$.

Докажите, что для любых комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ их разность существует, единственна и вычисляется по правилу $z_3 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i$.

Пусть даны два комплексных числа $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$. Мы ищем их разность, то есть комплексное число $z_3 = x + yi$ (где $x$ и $y$ — действительные числа), такое что по определению выполняется равенство:

$z_2 + z_3 = z_1$

Подставим в это уравнение алгебраические формы комплексных чисел:

$(a_2 + b_2i) + (x + yi) = a_1 + b_1i$

По правилу сложения комплексных чисел, левая часть уравнения преобразуется к виду:

$(a_2 + x) + (b_2 + y)i = a_1 + b_1i$

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Приравнивая их, получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными $x$ и $y$:

$\begin{cases} a_2 + x = a_1 \\ b_2 + y = b_1 \end{cases}$

Решим эту систему относительно $x$ и $y$:

$x = a_1 - a_2$

$y = b_1 - b_2$

Проанализируем полученный результат:

Существование: Поскольку $a_1, a_2, b_1, b_2$ являются действительными числами, то и их разности $x = a_1 - a_2$ и $y = b_1 - b_2$ также являются действительными числами. Это означает, что всегда существует комплексное число $z_3 = x + yi$, которое является искомой разностью.

Единственность: Система линейных уравнений для данных $a_1, a_2, b_1, b_2$ имеет единственное решение для $x$ и $y$. Так как комплексное число однозначно определяется своей действительной и мнимой частями, то разность $z_3$ также единственна.

Правило вычисления: Мы нашли, что действительная часть искомой разности равна $x = a_1 - a_2$, а мнимая часть равна $y = b_1 - b_2$. Следовательно, разность $z_3$ вычисляется по формуле:

$z_3 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i$

Таким образом, доказано, что разность двух любых комплексных чисел существует, единственна и вычисляется по указанному правилу.

Ответ: Разностью комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ называют такое комплексное число $z_3$, что $z_2 + z_3 = z_1$. Для любых комплексных чисел $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$ их разность существует, единственна и вычисляется по формуле $z_3 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i$.

16.14 Что называют частным от деления комплексного числа $z_1 = a_1 + b_1i$ на комплексное число $z_2 = a_2 + b_2i (z_2 \neq 0 + 0i)$? Докажите, что для любых комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ их частное $\frac{z_1}{z_2}$ существует и единственно.

Что называют частным от деления комплексного числа $z_1 = a_1 + b_1i$ на комплексное число $z_2 = a_2 + b_2i$ ($z_2 \neq 0 + 0i$)?

Частным от деления комплексного числа $z_1$ на ненулевое комплексное число $z_2$ называют такое комплексное число $z$, которое удовлетворяет уравнению $z \cdot z_2 = z_1$. Это частное обозначается как $\frac{z_1}{z_2}$.

Для практического нахождения этого числа, как правило, числитель и знаменатель дроби $\frac{z_1}{z_2}$ умножают на число, комплексно-сопряженное знаменателю, $\bar{z_2} = a_2 - b_2i$. Это позволяет избавиться от мнимой единицы в знаменателе.

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 + b_1i}{a_2 + b_2i} = \frac{(a_1 + b_1i)(a_2 - b_2i)}{(a_2 + b_2i)(a_2 - b_2i)} = \frac{a_1a_2 - a_1b_2i + b_1a_2i - b_1b_2i^2}{a_2^2 - (b_2i)^2} = \frac{(a_1a_2 + b_1b_2) + (a_2b_1 - a_1b_2)i}{a_2^2 + b_2^2}$

В результате получается формула для частного:

$z = \frac{a_1a_2 + b_1b_2}{a_2^2 + b_2^2} + i \frac{a_2b_1 - a_1b_2}{a_2^2 + b_2^2}$

Ответ: Частным от деления комплексного числа $z_1$ на ненулевое комплексное число $z_2$ называют комплексное число $z$ такое, что $z \cdot z_2 = z_1$.

Докажите, что для любых комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ их частное $\frac{z_1}{z_2}$ существует и единственно.

Пусть даны два комплексных числа $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$, причем $z_2 \neq 0 + 0i$. Нам нужно доказать, что существует, и притом единственное, комплексное число $z = x + yi$ (где $x$ и $y$ — действительные числа), такое, что $z \cdot z_2 = z_1$.

Запишем это равенство в развернутом виде:

$(x + yi)(a_2 + b_2i) = a_1 + b_1i$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя правила умножения комплексных чисел:

$xa_2 + xb_2i + ya_2i + yb_2i^2 = a_1 + b_1i$

Так как $i^2 = -1$, сгруппируем действительную и мнимую части:

$(xa_2 - yb_2) + (xb_2 + ya_2)i = a_1 + b_1i$

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Приравнивая их, получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными $x$ и $y$:

$\begin{cases} a_2x - b_2y = a_1 \\ b_2x + a_2y = b_1 \end{cases}$

Существование и единственность решения этой системы для $x$ и $y$ эквивалентно существованию и единственности частного $z = x + yi$. Решение системы линейных уравнений существует и единственно, если определитель (детерминант) ее основной матрицы коэффициентов отличен от нуля.

Найдем этот определитель:

$\Delta = \begin{vmatrix} a_2 & -b_2 \\ b_2 & a_2 \end{vmatrix} = a_2 \cdot a_2 - (-b_2) \cdot b_2 = a_2^2 + b_2^2$

По условию, $z_2 = a_2 + b_2i \neq 0$. Это означает, что действительные числа $a_2$ и $b_2$ не равны нулю одновременно. Поскольку $a_2$ и $b_2$ — действительные числа, то $a_2^2 \ge 0$ и $b_2^2 \ge 0$. Если хотя бы одно из них не равно нулю, то их сумма квадратов будет строго больше нуля: $a_2^2 + b_2^2 > 0$.

Следовательно, определитель системы $\Delta = a_2^2 + b_2^2 \neq 0$.

Так как определитель системы не равен нулю, система имеет единственное решение для $x$ и $y$. Это доказывает, что существует единственное комплексное число $z = x + yi$, которое является частным от деления $z_1$ на $z_2$. Таким образом, существование и единственность частного доказаны.

Ответ: Существование и единственность частного $\frac{z_1}{z_2}$ (при $z_2 \neq 0$) следует из того, что задача его нахождения сводится к решению системы двух линейных уравнений относительно действительной и мнимой частей искомого числа. Определитель этой системы равен $a_2^2 + b_2^2$, что отлично от нуля, поскольку $z_2 \neq 0$. Это гарантирует существование единственного решения системы, а значит, и единственность частного.

Выполните действия (16.15–16.20):

16.15 а) $(3 + 2i) + (1 + 5i);$

б) $(3 - 11i) + (4 + 15i);$

в) $(-5 + i) + (1 - 4i);$

г) $(8 - i) + (-8 + i);$

д) $(-5 + 7i) + (5 - i);$

е) $(8 - i) + (4 + i).$

а) Чтобы сложить два комплексных числа, необходимо отдельно сложить их действительные и мнимые части. Для чисел $(3 + 2i)$ и $(1 + 5i)$ имеем:

Сложение действительных частей: $3 + 1 = 4$.

Сложение мнимых частей: $2i + 5i = (2 + 5)i = 7i$.

Сгруппировав действительную и мнимую части, получаем:

$(3 + 2i) + (1 + 5i) = (3 + 1) + (2 + 5)i = 4 + 7i$.

Ответ: $4 + 7i$

б) Складываем комплексные числа $(3 - 11i)$ и $(4 + 15i)$.

Сложение действительных частей: $3 + 4 = 7$.

Сложение мнимых частей: $-11i + 15i = (-11 + 15)i = 4i$.

Результат сложения:

$(3 - 11i) + (4 + 15i) = (3 + 4) + (-11 + 15)i = 7 + 4i$.

Ответ: $7 + 4i$

в) Складываем комплексные числа $(-5 + i)$ и $(1 - 4i)$.

Сложение действительных частей: $-5 + 1 = -4$.

Сложение мнимых частей: $i - 4i = (1 - 4)i = -3i$.

Сумма:

$(-5 + i) + (1 - 4i) = (-5 + 1) + (1 - 4)i = -4 - 3i$.

Ответ: $-4 - 3i$

г) Складываем комплексные числа $(8 - i)$ и $(-8 + i)$.

Сложение действительных частей: $8 + (-8) = 0$.

Сложение мнимых частей: $-i + i = (-1 + 1)i = 0i = 0$.

Сумма:

$(8 - i) + (-8 + i) = (8 - 8) + (-1 + 1)i = 0 + 0i = 0$.

Ответ: $0$

д) Складываем комплексные числа $(-5 + 7i)$ и $(5 - i)$.

Сложение действительных частей: $-5 + 5 = 0$.

Сложение мнимых частей: $7i - i = (7 - 1)i = 6i$.

Сумма:

$(-5 + 7i) + (5 - i) = (-5 + 5) + (7 - 1)i = 0 + 6i = 6i$.

Ответ: $6i$

е) Складываем комплексные числа $(8 - i)$ и $(4 + i)$.

Сложение действительных частей: $8 + 4 = 12$.

Сложение мнимых частей: $-i + i = (-1 + 1)i = 0i = 0$.

Сумма:

$(8 - i) + (4 + i) = (8 + 4) + (-1 + 1)i = 12 + 0i = 12$.

Ответ: $12$

16.16 а) $(3 + 2i) - (1 + 5i);$

В) $(-5 + i) - (1 - 4i);$

Д) $(5 + 7i) - (5 - i);$

б) $(3 - 11i) - (4 + 15i);$

Г) $(8 + i) - (-8 + i);$

e) $(8 - i) - (8 - i).$

а) Чтобы найти разность двух комплексных чисел, нужно отдельно вычесть их действительные и мнимые части. Для выражения $(3 + 2i) - (1 + 5i)$ действуем следующим образом: вычитаем действительные части $3 - 1 = 2$ и мнимые части $2 - 5 = -3$. Таким образом, получаем:
$(3 + 2i) - (1 + 5i) = (3 - 1) + (2 - 5)i = 2 - 3i$.
Ответ: $2 - 3i$.

б) Выполним вычитание комплексных чисел $(3 - 11i) - (4 + 15i)$. Раскроем скобки, изменив знаки у второго комплексного числа: $3 - 11i - 4 - 15i$. Теперь сгруппируем действительные и мнимые слагаемые:
$(3 - 4) + (-11 - 15)i = -1 + (-26)i = -1 - 26i$.
Ответ: $-1 - 26i$.

в) Найдем разность $(-5 + i) - (1 - 4i)$. Вычитаем действительные части: $-5 - 1 = -6$. Вычитаем мнимые части: $1 - (-4) = 1 + 4 = 5$. Объединяем результаты:
$(-5 + i) - (1 - 4i) = (-5 - 1) + (1 - (-4))i = -6 + 5i$.
Ответ: $-6 + 5i$.

г) Вычислим разность $(8 + i) - (-8 + i)$. Сначала раскроем скобки: $8 + i - (-8) - i = 8 + i + 8 - i$. Теперь сгруппируем действительные и мнимые части:
$(8 + 8) + (i - i) = 16 + 0i = 16$.
Ответ: $16$.

д) Найдем разность $(5 + 7i) - (5 - i)$. Вычтем действительные части: $5 - 5 = 0$. Вычтем мнимые части: $7 - (-1) = 7 + 1 = 8$. Результат:
$(5 - 5) + (7 - (-1))i = 0 + 8i = 8i$.
Ответ: $8i$.

е) Вычислим разность $(8 - i) - (8 - i)$. В данном случае мы вычитаем комплексное число из самого себя, поэтому результат должен быть равен нулю. Проверим это, выполнив вычитание по частям:
$(8 - 8) + (-i - (-i)) = 0 + (-i + i) = 0 + 0i = 0$.
Ответ: $0$.

16.17 а) $(3 + 2i) \cdot (1 + 5i)$;

В) $(-5 + i) \cdot (1 - 4i)$;

Д) $(5 + 2i) \cdot (5 - i)$;

Б) $(3 - i) \cdot (4 + 5i)$;

Г) $(8 + i) \cdot (-8 + i)$;

е) $(8 - i) \cdot (8 + i)$.

а) Чтобы перемножить два комплексных числа $(3 + 2i)$ и $(1 + 5i)$, мы применяем правило умножения двучленов (метод FOIL или "фонтанчик") и используем основное свойство мнимой единицы, согласно которому $i^2 = -1$.

$(3 + 2i) \cdot (1 + 5i) = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 5i + 2i \cdot 1 + 2i \cdot 5i = 3 + 15i + 2i + 10i^2$

Теперь сгруппируем действительные и мнимые части, подставив значение $i^2 = -1$:

$3 + (15 + 2)i + 10(-1) = 3 + 17i - 10 = (3 - 10) + 17i = -7 + 17i$

Ответ: $-7 + 17i$

б) Выполним умножение комплексных чисел $(3 - i)$ и $(4 + 5i)$:

$(3 - i) \cdot (4 + 5i) = 3 \cdot 4 + 3 \cdot 5i - i \cdot 4 - i \cdot 5i = 12 + 15i - 4i - 5i^2$

Заменим $i^2$ на $-1$ и приведем подобные слагаемые:

$12 + (15 - 4)i - 5(-1) = 12 + 11i + 5 = (12 + 5) + 11i = 17 + 11i$

Ответ: $17 + 11i$

в) Выполним умножение комплексных чисел $(-5 + i)$ и $(1 - 4i)$:

$(-5 + i) \cdot (1 - 4i) = -5 \cdot 1 - 5 \cdot (-4i) + i \cdot 1 + i \cdot (-4i) = -5 + 20i + i - 4i^2$

Заменим $i^2$ на $-1$ и сгруппируем слагаемые:

$-5 + (20 + 1)i - 4(-1) = -5 + 21i + 4 = (-5 + 4) + 21i = -1 + 21i$

Ответ: $-1 + 21i$

г) Умножим комплексные числа $(8 + i)$ и $(-8 + i)$. Это выражение можно переписать как $(i + 8) \cdot (i - 8)$ и использовать формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$(i + 8) \cdot (i - 8) = i^2 - 8^2 = -1 - 64 = -65$

Также можно решить, раскрыв скобки:

$(8 + i) \cdot (-8 + i) = 8 \cdot (-8) + 8 \cdot i + i \cdot (-8) + i \cdot i = -64 + 8i - 8i + i^2 = -64 + 0 \cdot i - 1 = -65$

Ответ: $-65$

д) Выполним умножение комплексных чисел $(5 + 2i)$ и $(5 - i)$:

$(5 + 2i) \cdot (5 - i) = 5 \cdot 5 + 5 \cdot (-i) + 2i \cdot 5 + 2i \cdot (-i) = 25 - 5i + 10i - 2i^2$

Заменим $i^2$ на $-1$ и приведем подобные слагаемые:

$25 + (-5 + 10)i - 2(-1) = 25 + 5i + 2 = (25 + 2) + 5i = 27 + 5i$

Ответ: $27 + 5i$

е) Выполним умножение $(8 - i) \cdot (8 + i)$. Это произведение комплексно-сопряженных чисел вида $(a - bi)(a + bi)$, которое равно сумме квадратов $a^2 + b^2$.

В нашем случае $a = 8$ и $b = 1$.

$(8 - i) \cdot (8 + i) = 8^2 + 1^2 = 64 + 1 = 65$

Проверка путем раскрытия скобок:

$(8 - i) \cdot (8 + i) = 8 \cdot 8 + 8 \cdot i - i \cdot 8 - i \cdot i = 64 + 8i - 8i - i^2 = 64 - (-1) = 64 + 1 = 65$

Ответ: $65$

16.18 a) $(3 + 2i) : (1 + 5i)$;

В) $(-5 + i) : (1 - 4i)$;

Д) $(5 + 7i) : (5 - i)$;

б) $(3 - 11i) : (4 + 15i)$;

Г) $(8 + i) : (-8 + i)$;

e) $(8 - i) : (8 - i)$.

а) Чтобы найти частное двух комплексных чисел $(3 + 2i) : (1 + 5i)$, нужно умножить делимое и делитель на число, сопряженное делителю. Сопряженным к $1 + 5i$ является $1 - 5i$.
$\frac{3 + 2i}{1 + 5i} = \frac{(3 + 2i)(1 - 5i)}{(1 + 5i)(1 - 5i)} = \frac{3 \cdot 1 - 3 \cdot 5i + 2i \cdot 1 - 2i \cdot 5i}{1^2 + 5^2} = \frac{3 - 15i + 2i - 10i^2}{1 + 25}$
Так как $i^2 = -1$, получаем:
$\frac{3 - 13i - 10(-1)}{26} = \frac{3 - 13i + 10}{26} = \frac{13 - 13i}{26} = \frac{13}{26} - \frac{13}{26}i = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$
Ответ: $\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$

б) Выполним деление $(3 - 11i) : (4 + 15i)$. Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, т.е. на $4 - 15i$.
$\frac{3 - 11i}{4 + 15i} = \frac{(3 - 11i)(4 - 15i)}{(4 + 15i)(4 - 15i)} = \frac{3 \cdot 4 - 3 \cdot 15i - 11i \cdot 4 + 11i \cdot 15i}{4^2 + 15^2} = \frac{12 - 45i - 44i + 165i^2}{16 + 225}$
Заменим $i^2$ на $-1$:
$\frac{12 - 89i + 165(-1)}{241} = \frac{12 - 89i - 165}{241} = \frac{-153 - 89i}{241} = -\frac{153}{241} - \frac{89}{241}i$
Ответ: $-\frac{153}{241} - \frac{89}{241}i$

в) Выполним деление $(-5 + i) : (1 - 4i)$. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю, т.е. на $1 + 4i$.
$\frac{-5 + i}{1 - 4i} = \frac{(-5 + i)(1 + 4i)}{(1 - 4i)(1 + 4i)} = \frac{-5 \cdot 1 - 5 \cdot 4i + i \cdot 1 + i \cdot 4i}{1^2 + (-4)^2} = \frac{-5 - 20i + i + 4i^2}{1 + 16}$
Учитывая, что $i^2 = -1$:
$\frac{-5 - 19i + 4(-1)}{17} = \frac{-5 - 19i - 4}{17} = \frac{-9 - 19i}{17} = -\frac{9}{17} - \frac{19}{17}i$
Ответ: $-\frac{9}{17} - \frac{19}{17}i$

г) Выполним деление $(8 + i) : (-8 + i)$. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю, т.е. на $-8 - i$.
$\frac{8 + i}{-8 + i} = \frac{(8 + i)(-8 - i)}{(-8 + i)(-8 - i)} = \frac{8(-8) - 8i - 8i - i^2}{(-8)^2 + 1^2} = \frac{-64 - 16i - i^2}{64 + 1}$
Подставим $i^2 = -1$:
$\frac{-64 - 16i - (-1)}{65} = \frac{-64 - 16i + 1}{65} = \frac{-63 - 16i}{65} = -\frac{63}{65} - \frac{16}{65}i$
Ответ: $-\frac{63}{65} - \frac{16}{65}i$

д) Выполним деление $(5 + 7i) : (5 - i)$. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю, т.е. на $5 + i$.
$\frac{5 + 7i}{5 - i} = \frac{(5 + 7i)(5 + i)}{(5 - i)(5 + i)} = \frac{5 \cdot 5 + 5i + 7i \cdot 5 + 7i \cdot i}{5^2 + (-1)^2} = \frac{25 + 5i + 35i + 7i^2}{25 + 1}$
Подставим $i^2 = -1$:
$\frac{25 + 40i + 7(-1)}{26} = \frac{25 + 40i - 7}{26} = \frac{18 + 40i}{26} = \frac{18}{26} + \frac{40}{26}i = \frac{9}{13} + \frac{20}{13}i$
Ответ: $\frac{9}{13} + \frac{20}{13}i$

е) Выполним деление $(8 - i) : (8 - i)$.
Любое ненулевое комплексное число, разделенное на само себя, равно 1. Поскольку $8 - i \neq 0$, то:
$\frac{8 - i}{8 - i} = 1$
Можно также проверить это, умножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю $8+i$:
$\frac{(8 - i)(8 + i)}{(8 - i)(8 + i)} = \frac{8^2 - i^2}{8^2 - i^2} = \frac{64 - (-1)}{64 - (-1)} = \frac{65}{65} = 1$
Ответ: $1$

16.19 a) $(5+2i)^2;$

б) $(3-2i)^2;$

в) $(4+i)^2;$

г) $(3-3i)^2;$

д) $(4+4i)^2;$

е) $(5-5i)^2;$

ж) $(1+i)^3;$

з) $(1-2i)^3;$

и) $(2+i)^3;$

а) Чтобы возвести комплексное число $(5 + 2i)$ в квадрат, используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(5 + 2i)^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot (2i) + (2i)^2 = 25 + 20i + 4i^2$.

Зная, что мнимая единица в квадрате равна $-1$ ($i^2 = -1$), подставляем это значение:

$25 + 20i + 4(-1) = 25 + 20i - 4 = 21 + 20i$.

Ответ: $21 + 20i$.

б) Для возведения в квадрат комплексного числа $(3 - 2i)$ применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(3 - 2i)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot (2i) + (2i)^2 = 9 - 12i + 4i^2$.

Так как $i^2 = -1$, получаем:

$9 - 12i + 4(-1) = 9 - 12i - 4 = 5 - 12i$.

Ответ: $5 - 12i$.

в) Возводим в квадрат $(4 + i)$ по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(4 + i)^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot i + i^2 = 16 + 8i + i^2$.

Подставляем $i^2 = -1$:

$16 + 8i - 1 = 15 + 8i$.

Ответ: $15 + 8i$.

г) Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ для $(3 - 3i)^2$.

$(3 - 3i)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot (3i) + (3i)^2 = 9 - 18i + 9i^2$.

Заменяем $i^2$ на $-1$:

$9 - 18i + 9(-1) = 9 - 18i - 9 = -18i$.

Ответ: $-18i$.

д) Возводим в квадрат $(4 + 4i)$ по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(4 + 4i)^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot (4i) + (4i)^2 = 16 + 32i + 16i^2$.

Подставляем $i^2 = -1$:

$16 + 32i + 16(-1) = 16 + 32i - 16 = 32i$.

Ответ: $32i$.

е) Для $(5 - 5i)^2$ используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(5 - 5i)^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot (5i) + (5i)^2 = 25 - 50i + 25i^2$.

Заменяем $i^2$ на $-1$:

$25 - 50i + 25(-1) = 25 - 50i - 25 = -50i$.

Ответ: $-50i$.

ж) Чтобы возвести $(1 + i)$ в куб, используем формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

$(1 + i)^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot i + 3 \cdot 1 \cdot i^2 + i^3 = 1 + 3i + 3i^2 + i^3$.

Зная, что $i^2 = -1$ и $i^3 = i^2 \cdot i = -i$, подставляем значения:

$1 + 3i + 3(-1) + (-i) = 1 + 3i - 3 - i = -2 + 2i$.

Ответ: $-2 + 2i$.

з) Для возведения $(1 - 2i)$ в куб применим формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

$(1 - 2i)^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot (2i) + 3 \cdot 1 \cdot (2i)^2 - (2i)^3 = 1 - 6i + 3(4i^2) - 8i^3$.

Подставляем $i^2 = -1$ и $i^3 = -i$:

$1 - 6i + 12(-1) - 8(-i) = 1 - 6i - 12 + 8i = -11 + 2i$.

Ответ: $-11 + 2i$.

и) Возводим в куб $(2 + i)$, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

$(2 + i)^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot i + 3 \cdot 2 \cdot i^2 + i^3 = 8 + 12i + 6i^2 + i^3$.

Подставляя $i^2 = -1$ и $i^3 = -i$, получаем:

$8 + 12i + 6(-1) + (-i) = 8 + 12i - 6 - i = 2 + 11i$.

Ответ: $2 + 11i$.

16.20 a) $(3 + i)^2 + (3 - i)^2;$

В) $(-5 + i)^2 - (5 - i)^2;$

Д) $(3 + i)^3 + (3 - i)^3;$

б) $(3 - 2i)^2 - (3 + 2i)^2;$

Г) $(6 + i)^2 - (-6 + i)^2;$

е) $(1 - 2i)^3 - (1 + 2i)^3.$

а) $(3 + i)^2 + (3 - i)^2$

Для решения этого примера воспользуемся формулой квадрата суммы и квадрата разности для комплексных чисел. Напомним, что $i^2 = -1$.

Раскроем каждую скобку отдельно:

$(3 + i)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot i + i^2 = 9 + 6i - 1 = 8 + 6i$

$(3 - i)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot i + i^2 = 9 - 6i - 1 = 8 - 6i$

Теперь сложим полученные результаты:

$(8 + 6i) + (8 - 6i) = 8 + 8 + 6i - 6i = 16$

Альтернативно, можно было использовать алгебраическое тождество $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2+b^2)$. При $a=3$ и $b=i$ получаем: $2(3^2 + i^2) = 2(9 - 1) = 2 \cdot 8 = 16$.

Ответ: 16

б) $(3 - 2i)^2 - (3 + 2i)^2$

Здесь удобнее всего применить формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Пусть $a = 3 - 2i$ и $b = 3 + 2i$.

Найдем разность и сумму этих чисел:

$a - b = (3 - 2i) - (3 + 2i) = 3 - 2i - 3 - 2i = -4i$

$a + b = (3 - 2i) + (3 + 2i) = 3 + 3 - 2i + 2i = 6$

Теперь перемножим полученные значения:

$(a - b)(a + b) = (-4i) \cdot 6 = -24i$

Ответ: -24i

в) $(-5 + i)^2 - (5 - i)^2$

Обратим внимание на первое слагаемое: $(-5 + i)$. Его можно представить как $-(5 - i)$.

Тогда исходное выражение примет вид:

$(-(5 - i))^2 - (5 - i)^2$

Поскольку квадрат отрицательного числа равен квадрату самого числа, то есть $(-x)^2 = x^2$, получаем:

$(5 - i)^2 - (5 - i)^2 = 0$

Ответ: 0

г) $(6 + i)^2 - (-6 + i)^2$

Снова используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Пусть $a = 6 + i$ и $b = -6 + i$.

Найдем их разность и сумму:

$a - b = (6 + i) - (-6 + i) = 6 + i + 6 - i = 12$

$a + b = (6 + i) + (-6 + i) = 6 + i - 6 + i = 2i$

Перемножим результаты:

$(a - b)(a + b) = 12 \cdot (2i) = 24i$

Ответ: 24i

д) $(3 + i)^3 + (3 - i)^3$

Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Пусть $a = 3 + i$ и $b = 3 - i$.

Найдем необходимые компоненты формулы:

$a + b = (3 + i) + (3 - i) = 6$

$ab = (3 + i)(3 - i) = 3^2 - i^2 = 9 - (-1) = 10$

$a^2 = (3 + i)^2 = 3^2 + 6i + i^2 = 9 + 6i - 1 = 8 + 6i$

$b^2 = (3 - i)^2 = 3^2 - 6i + i^2 = 9 - 6i - 1 = 8 - 6i$

Подставим значения в множитель $(a^2 - ab + b^2)$:

$(8 + 6i) - 10 + (8 - 6i) = 8 - 10 + 8 = 6$

Теперь вычислим итоговое значение:

$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = 6 \cdot 6 = 36$

Ответ: 36

е) $(1 - 2i)^3 - (1 + 2i)^3$

Применим формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Пусть $a = 1 - 2i$ и $b = 1 + 2i$.

Найдем необходимые компоненты:

$a - b = (1 - 2i) - (1 + 2i) = 1 - 2i - 1 - 2i = -4i$

$ab = (1 - 2i)(1 + 2i) = 1^2 - (2i)^2 = 1 - 4i^2 = 1 - 4(-1) = 5$

$a^2 = (1 - 2i)^2 = 1^2 - 4i + (2i)^2 = 1 - 4i - 4 = -3 - 4i$

$b^2 = (1 + 2i)^2 = 1^2 + 4i + (2i)^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i$

Подставим значения в множитель $(a^2 + ab + b^2)$:

$(-3 - 4i) + 5 + (-3 + 4i) = -3 + 5 - 3 = -1$

Вычислим итоговое значение:

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = (-4i) \cdot (-1) = 4i$

Ответ: 4i