Номер 16.9, страница 383 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел - номер 16.9, страница 383.

Условие.

16.9° Как вычисляют сумму, произведение нескольких комплексных чисел?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Комплексные числа — это числа вида $z = a + bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа, а $i$ — мнимая единица, для которой выполняется равенство $i^2 = -1$. Число $a$ называется действительной (вещественной) частью числа $z$, а число $b$ — мнимой частью.

Рассмотрим правила вычисления суммы и произведения для нескольких комплексных чисел.

Сумма

Чтобы найти сумму нескольких комплексных чисел, нужно сложить их действительные и мнимые части по отдельности.

Пусть даны $n$ комплексных чисел, записанных в алгебраической форме: $z_1 = a_1 + b_1i$, $z_2 = a_2 + b_2i$, ..., $z_n = a_n + b_ni$.

Их сумма $Z = z_1 + z_2 + ... + z_n$ вычисляется по формуле: $Z = (a_1 + a_2 + ... + a_n) + (b_1 + b_2 + ... + b_n)i$

Это можно записать с использованием знака суммы: $\sum_{k=1}^{n} z_k = \left(\sum_{k=1}^{n} a_k\right) + \left(\sum_{k=1}^{n} b_k\right)i$

Пример для двух чисел: Пусть $z_1 = 3 + 2i$ и $z_2 = 5 - 4i$. Их сумма: $z_1 + z_2 = (3 + 5) + (2 + (-4))i = 8 + (2 - 4)i = 8 - 2i$.

Пример для трех чисел: Пусть $z_1 = 1+i$, $z_2 = 2-3i$ и $z_3 = -4+i$. Их сумма: $z_1 + z_2 + z_3 = (1 + 2 + (-4)) + (1 + (-3) + 1)i = (1 + 2 - 4) + (1 - 3 + 1)i = -1 - i$.

Ответ: Сумма нескольких комплексных чисел есть комплексное число, действительная часть которого равна сумме действительных частей слагаемых, а мнимая часть — сумме мнимых частей слагаемых.

Произведение

Произведение нескольких комплексных чисел вычисляется путем их последовательного перемножения. Это можно сделать двумя основными способами.

1. В алгебраической форме. При перемножении двух комплексных чисел $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$ их перемножают как двучлены, учитывая, что $i^2 = -1$: $z_1 \cdot z_2 = (a_1 + b_1i)(a_2 + b_2i) = a_1a_2 + a_1b_2i + b_1ia_2 + b_1b_2i^2$ $z_1 \cdot z_2 = a_1a_2 + (a_1b_2 + a_2b_1)i - b_1b_2 = (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)i$

Пример для двух чисел: Пусть $z_1 = 3 + 2i$ и $z_2 = 1 - 5i$. $z_1 \cdot z_2 = (3 \cdot 1 - 2 \cdot (-5)) + (3 \cdot (-5) + 2 \cdot 1)i = (3 + 10) + (-15 + 2)i = 13 - 13i$.

Чтобы перемножить несколько чисел, например, $z_1, z_2, z_3$, нужно сначала найти произведение $z_1 \cdot z_2$, а затем полученный результат умножить на $z_3$.

2. В тригонометрической (или показательной) форме. Этот способ часто бывает удобнее для перемножения большого количества чисел. Комплексное число в тригонометрической форме: $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r$ — модуль числа, а $\varphi$ — его аргумент. В показательной форме: $z = re^{i\varphi}$.

При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Для двух чисел $z_1 = r_1(\cos\varphi_1 + i\sin\varphi_1)$ и $z_2 = r_2(\cos\varphi_2 + i\sin\varphi_2)$: $z_1 \cdot z_2 = r_1r_2(\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2))$

Для произведения $n$ чисел: $\prod_{k=1}^{n} z_k = \left(\prod_{k=1}^{n} r_k\right) \cdot \left(\cos\left(\sum_{k=1}^{n} \varphi_k\right) + i\sin\left(\sum_{k=1}^{n} \varphi_k\right)\right)$

Ответ: Чтобы перемножить несколько комплексных чисел в алгебраической форме, их перемножают последовательно как двучлены, заменяя $i^2$ на $-1$ и приводя подобные члены. При использовании тригонометрической формы модули чисел перемножаются, а их аргументы складываются.