Номер 16.10, страница 383 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 16.10, страница 383.

Условие.

16.10 Что называют n-й степенью ($n \in N$) комплексного числа $z$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

n-й степенью комплексного числа $z$, где $n$ является натуральным числом ($n \in N$), называют комплексное число $z^n$, которое является результатом умножения числа $z$ на само себя $n$ раз. Это можно записать как:
$z^n = \underbrace{z \cdot z \cdot \dots \cdot z}_{n \text{ раз}}$

Данное определение можно также представить в рекурсивном виде: $z^1 = z$ и $z^n = z^{n-1} \cdot z$ для всех $n > 1$. Это определение полностью аналогично операции возведения в степень для действительных чисел.

Практическое вычисление $n$-й степени комплексного числа существенно зависит от формы его записи.

При использовании алгебраической формы $z = a + bi$ для возведения в степень можно применить формулу бинома Ньютона: $z^n = (a + bi)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} (bi)^k$. Этот метод требует громоздких вычислений, особенно при больших значениях $n$, так как необходимо раскрывать скобки и группировать действительные и мнимые части, учитывая степени мнимой единицы ($i^2 = -1$, $i^3 = -i$ и т.д.).

Гораздо более эффективным является возведение в степень в тригонометрической форме. Если комплексное число представлено в виде $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r = |z|$ — его модуль, а $\varphi = \arg(z)$ — аргумент, то для вычисления $n$-й степени используется знаменитая формула Муавра:
$z^n = [r(\cos\varphi + i\sin\varphi)]^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$.
Таким образом, чтобы возвести комплексное число в степень $n$, нужно возвести его модуль в степень $n$ и умножить его аргумент на $n$.

В показательной (экспоненциальной) форме, которая тесно связана с тригонометрической через формулу Эйлера, вычисление степени выглядит наиболее лаконично. Для числа $z = re^{i\varphi}$ его $n$-я степень равна:
$z^n = (re^{i\varphi})^n = r^n e^{in\varphi}$.
Это является, по сути, другой, более компактной записью формулы Муавра.

Ответ: N-й степенью ($n \in N$) комплексного числа $z$ называется число $z^n$, равное произведению $n$ множителей, каждый из которых равен $z$. Для вычисления $z^n$ наиболее удобной является формула Муавра: если число представлено в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, то его $n$-я степень равна $z^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$.