Номер 16.17, страница 383 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел - номер 16.17, страница 383.

Условие.

16.17 а) $(3 + 2i) \cdot (1 + 5i)$;

В) $(-5 + i) \cdot (1 - 4i)$;

Д) $(5 + 2i) \cdot (5 - i)$;

Б) $(3 - i) \cdot (4 + 5i)$;

Г) $(8 + i) \cdot (-8 + i)$;

е) $(8 - i) \cdot (8 + i)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Чтобы перемножить два комплексных числа $(3 + 2i)$ и $(1 + 5i)$, мы применяем правило умножения двучленов (метод FOIL или "фонтанчик") и используем основное свойство мнимой единицы, согласно которому $i^2 = -1$.

$(3 + 2i) \cdot (1 + 5i) = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 5i + 2i \cdot 1 + 2i \cdot 5i = 3 + 15i + 2i + 10i^2$

Теперь сгруппируем действительные и мнимые части, подставив значение $i^2 = -1$:

$3 + (15 + 2)i + 10(-1) = 3 + 17i - 10 = (3 - 10) + 17i = -7 + 17i$

Ответ: $-7 + 17i$

б) Выполним умножение комплексных чисел $(3 - i)$ и $(4 + 5i)$:

$(3 - i) \cdot (4 + 5i) = 3 \cdot 4 + 3 \cdot 5i - i \cdot 4 - i \cdot 5i = 12 + 15i - 4i - 5i^2$

Заменим $i^2$ на $-1$ и приведем подобные слагаемые:

$12 + (15 - 4)i - 5(-1) = 12 + 11i + 5 = (12 + 5) + 11i = 17 + 11i$

Ответ: $17 + 11i$

в) Выполним умножение комплексных чисел $(-5 + i)$ и $(1 - 4i)$:

$(-5 + i) \cdot (1 - 4i) = -5 \cdot 1 - 5 \cdot (-4i) + i \cdot 1 + i \cdot (-4i) = -5 + 20i + i - 4i^2$

Заменим $i^2$ на $-1$ и сгруппируем слагаемые:

$-5 + (20 + 1)i - 4(-1) = -5 + 21i + 4 = (-5 + 4) + 21i = -1 + 21i$

Ответ: $-1 + 21i$

г) Умножим комплексные числа $(8 + i)$ и $(-8 + i)$. Это выражение можно переписать как $(i + 8) \cdot (i - 8)$ и использовать формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$(i + 8) \cdot (i - 8) = i^2 - 8^2 = -1 - 64 = -65$

Также можно решить, раскрыв скобки:

$(8 + i) \cdot (-8 + i) = 8 \cdot (-8) + 8 \cdot i + i \cdot (-8) + i \cdot i = -64 + 8i - 8i + i^2 = -64 + 0 \cdot i - 1 = -65$

Ответ: $-65$

д) Выполним умножение комплексных чисел $(5 + 2i)$ и $(5 - i)$:

$(5 + 2i) \cdot (5 - i) = 5 \cdot 5 + 5 \cdot (-i) + 2i \cdot 5 + 2i \cdot (-i) = 25 - 5i + 10i - 2i^2$

Заменим $i^2$ на $-1$ и приведем подобные слагаемые:

$25 + (-5 + 10)i - 2(-1) = 25 + 5i + 2 = (25 + 2) + 5i = 27 + 5i$

Ответ: $27 + 5i$

е) Выполним умножение $(8 - i) \cdot (8 + i)$. Это произведение комплексно-сопряженных чисел вида $(a - bi)(a + bi)$, которое равно сумме квадратов $a^2 + b^2$.

В нашем случае $a = 8$ и $b = 1$.

$(8 - i) \cdot (8 + i) = 8^2 + 1^2 = 64 + 1 = 65$

Проверка путем раскрытия скобок:

$(8 - i) \cdot (8 + i) = 8 \cdot 8 + 8 \cdot i - i \cdot 8 - i \cdot i = 64 + 8i - 8i - i^2 = 64 - (-1) = 64 + 1 = 65$

Ответ: $65$