Номер 16.19, страница 383 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел - номер 16.19, страница 383.

Условие.

16.19 a) $(5+2i)^2;$

б) $(3-2i)^2;$

в) $(4+i)^2;$

г) $(3-3i)^2;$

д) $(4+4i)^2;$

е) $(5-5i)^2;$

ж) $(1+i)^3;$

з) $(1-2i)^3;$

и) $(2+i)^3;$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Чтобы возвести комплексное число $(5 + 2i)$ в квадрат, используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(5 + 2i)^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot (2i) + (2i)^2 = 25 + 20i + 4i^2$.

Зная, что мнимая единица в квадрате равна $-1$ ($i^2 = -1$), подставляем это значение:

$25 + 20i + 4(-1) = 25 + 20i - 4 = 21 + 20i$.

Ответ: $21 + 20i$.

б) Для возведения в квадрат комплексного числа $(3 - 2i)$ применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(3 - 2i)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot (2i) + (2i)^2 = 9 - 12i + 4i^2$.

Так как $i^2 = -1$, получаем:

$9 - 12i + 4(-1) = 9 - 12i - 4 = 5 - 12i$.

Ответ: $5 - 12i$.

в) Возводим в квадрат $(4 + i)$ по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(4 + i)^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot i + i^2 = 16 + 8i + i^2$.

Подставляем $i^2 = -1$:

$16 + 8i - 1 = 15 + 8i$.

Ответ: $15 + 8i$.

г) Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ для $(3 - 3i)^2$.

$(3 - 3i)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot (3i) + (3i)^2 = 9 - 18i + 9i^2$.

Заменяем $i^2$ на $-1$:

$9 - 18i + 9(-1) = 9 - 18i - 9 = -18i$.

Ответ: $-18i$.

д) Возводим в квадрат $(4 + 4i)$ по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(4 + 4i)^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot (4i) + (4i)^2 = 16 + 32i + 16i^2$.

Подставляем $i^2 = -1$:

$16 + 32i + 16(-1) = 16 + 32i - 16 = 32i$.

Ответ: $32i$.

е) Для $(5 - 5i)^2$ используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(5 - 5i)^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot (5i) + (5i)^2 = 25 - 50i + 25i^2$.

Заменяем $i^2$ на $-1$:

$25 - 50i + 25(-1) = 25 - 50i - 25 = -50i$.

Ответ: $-50i$.

ж) Чтобы возвести $(1 + i)$ в куб, используем формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

$(1 + i)^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot i + 3 \cdot 1 \cdot i^2 + i^3 = 1 + 3i + 3i^2 + i^3$.

Зная, что $i^2 = -1$ и $i^3 = i^2 \cdot i = -i$, подставляем значения:

$1 + 3i + 3(-1) + (-i) = 1 + 3i - 3 - i = -2 + 2i$.

Ответ: $-2 + 2i$.

з) Для возведения $(1 - 2i)$ в куб применим формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

$(1 - 2i)^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot (2i) + 3 \cdot 1 \cdot (2i)^2 - (2i)^3 = 1 - 6i + 3(4i^2) - 8i^3$.

Подставляем $i^2 = -1$ и $i^3 = -i$:

$1 - 6i + 12(-1) - 8(-i) = 1 - 6i - 12 + 8i = -11 + 2i$.

Ответ: $-11 + 2i$.

и) Возводим в куб $(2 + i)$, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

$(2 + i)^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot i + 3 \cdot 2 \cdot i^2 + i^3 = 8 + 12i + 6i^2 + i^3$.

Подставляя $i^2 = -1$ и $i^3 = -i$, получаем:

$8 + 12i + 6(-1) + (-i) = 8 + 12i - 6 - i = 2 + 11i$.

Ответ: $2 + 11i$.