Номер 16.26, страница 384 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 16.26, страница 384.

Условие.

16.26 Для какого действительного числа $x$ выражение $(3 + xi)^2 - (4x + 2)i$ является:

а) действительным числом;

б) мнимым числом?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи сначала упростим данное выражение, представив его в стандартной алгебраической форме комплексного числа $z = a + bi$, где $a$ – действительная часть, а $b$ – мнимая часть.

Исходное выражение: $Z = (3 + xi)^2 - (4x + 2)i$.

Раскроем квадрат комплексного числа $(3 + xi)^2$ по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(3 + xi)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot (xi) + (xi)^2 = 9 + 6xi + x^2i^2$.

Зная, что мнимая единица $i$ в квадрате равна $-1$ (то есть, $i^2 = -1$), получаем:
$9 + 6xi + x^2(-1) = 9 + 6xi - x^2 = (9 - x^2) + 6xi$.

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:
$Z = ((9 - x^2) + 6xi) - (4x + 2)i$.

Сгруппируем действительные и мнимые части, чтобы привести выражение к виду $a+bi$:
$Z = (9 - x^2) + (6x - (4x + 2))i$.

Упростим выражение в скобках для мнимой части:
$6x - 4x - 2 = 2x - 2$.

Таким образом, комплексное выражение в алгебраической форме имеет вид:
$Z = (9 - x^2) + (2x - 2)i$.

Действительная часть этого выражения (Re Z) равна $9 - x^2$.
Мнимая часть этого выражения (Im Z) равна $2x - 2$.

а) действительным числом;

Выражение является действительным числом, если его мнимая часть равна нулю.
$Im(Z) = 0$
$2x - 2 = 0$

Решим полученное линейное уравнение:
$2x = 2$
$x = 1$

При $x = 1$ выражение принимает значение $(9 - 1^2) + (2 \cdot 1 - 2)i = 8 + 0i = 8$, что является действительным числом.

Ответ: при $x=1$.

б) мнимым числом?

Выражение является чисто мнимым числом, если его действительная часть равна нулю.
$Re(Z) = 0$
$9 - x^2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:
$x^2 = 9$
$x = \pm\sqrt{9}$
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.

При $x = 3$ выражение принимает значение $(9 - 3^2) + (2 \cdot 3 - 2)i = (9 - 9) + (6 - 2)i = 0 + 4i = 4i$.
При $x = -3$ выражение принимает значение $(9 - (-3)^2) + (2 \cdot (-3) - 2)i = (9 - 9) + (-6 - 2)i = 0 - 8i = -8i$.
Оба числа, $4i$ и $-8i$, являются мнимыми.

Ответ: при $x=3$ и $x=-3$.