Номер 16.31, страница 385 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел - номер 16.31, страница 385.

Условие.

16.31 Пусть дано комплексное число $z = a + bi$. Какое комплексное число называют сопряжённым с числом $z$? Для каких чисел равны само число и число, ему сопряжённое?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Какое комплексное число называют сопряжённым с числом z?

Пусть дано комплексное число в алгебраической форме $z = a + bi$, где $a$ и $b$ – действительные числа, а $i$ – мнимая единица. Число $a$ называют действительной частью числа $z$ (обозначается $a = \text{Re}(z)$), а число $b$ – мнимой частью числа $z$ (обозначается $b = \text{Im}(z)$). Комплексно-сопряжённым числом (или просто сопряжённым) к числу $z$ называют комплексное число $\bar{z}$, которое имеет такую же действительную часть, как и $z$, и противоположную по знаку мнимую часть. Таким образом, для числа $z = a + bi$ сопряжённым является число $\bar{z} = a - bi$.
Ответ: Сопряжённым с числом $z = a + bi$ называют число $\bar{z} = a - bi$.

Для каких чисел равны само число и число, ему сопряжённое?

Найдём числа $z$, для которых выполняется равенство $z = \bar{z}$. Пусть $z = a + bi$. Тогда его сопряжённое число $\bar{z} = a - bi$. Приравняем их: $a + bi = a - bi$. Вычтем из обеих частей равенства действительную часть $a$: $bi = -bi$. Перенесём все члены в левую часть уравнения: $bi + bi = 0$, что даёт $2bi = 0$. Это равенство справедливо тогда и только тогда, когда коэффициент при мнимой единице равен нулю, то есть $2b = 0$, откуда следует, что $b=0$. Действительная часть $a$ может быть любым действительным числом. Комплексные числа, у которых мнимая часть равна нулю ($b=0$), являются действительными (вещественными) числами, так как $z = a + 0i = a$. Следовательно, комплексное число равно своему сопряжённому тогда и только тогда, когда оно является действительным числом.
Ответ: Само число и число, ему сопряжённое, равны для всех действительных (вещественных) чисел.