Номер 16.35, страница 385 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел - номер 16.35, страница 385.

Условие.

16.35 Выполните деление комплексных чисел:

а) $(1 + 2i) : (2 + i)$;

б) $(1 - 2i) : (2 - i)$;

в) $(3 + 2i) : (1 - i)$;

г) $(3 - 5i) : (3 + 4i)$;

д) $(10 + i) : (3 + 5i)$;

е) $(10 - i) : (13 - 5i)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для выполнения деления одного комплексного числа $z_1 = a + bi$ на другое $z_2 = c + di$, необходимо умножить числитель и знаменатель дроби $\frac{z_1}{z_2}$ на число, сопряженное знаменателю, т.е. на $\bar{z_2} = c - di$. Это позволяет избавиться от мнимой части в знаменателе. Формула для деления выглядит так:

$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{ac - adi + bci - bdi^2}{c^2 - (di)^2} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$

а) Выполним деление $(1 + 2i)$ на $(2 + i)$. Комплексно сопряженное к знаменателю $(2 + i)$ есть $(2 - i)$.

$\frac{1 + 2i}{2 + i} = \frac{(1 + 2i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{1 \cdot 2 - 1 \cdot i + 2i \cdot 2 - 2i \cdot i}{2^2 + 1^2} = \frac{2 - i + 4i - 2i^2}{4 + 1} = \frac{2 + 3i - 2(-1)}{5} = \frac{2 + 3i + 2}{5} = \frac{4 + 3i}{5} = \frac{4}{5} + \frac{3}{5}i$.

Ответ: $\frac{4}{5} + \frac{3}{5}i$.

б) Выполним деление $(1 - 2i)$ на $(2 - i)$. Комплексно сопряженное к знаменателю $(2 - i)$ есть $(2 + i)$.

$\frac{1 - 2i}{2 - i} = \frac{(1 - 2i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{1 \cdot 2 + 1 \cdot i - 2i \cdot 2 - 2i \cdot i}{2^2 + (-1)^2} = \frac{2 + i - 4i - 2i^2}{4 + 1} = \frac{2 - 3i - 2(-1)}{5} = \frac{2 - 3i + 2}{5} = \frac{4 - 3i}{5} = \frac{4}{5} - \frac{3}{5}i$.

Ответ: $\frac{4}{5} - \frac{3}{5}i$.

в) Выполним деление $(3 + 2i)$ на $(1 - i)$. Комплексно сопряженное к знаменателю $(1 - i)$ есть $(1 + i)$.

$\frac{3 + 2i}{1 - i} = \frac{(3 + 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{3 \cdot 1 + 3 \cdot i + 2i \cdot 1 + 2i \cdot i}{1^2 + (-1)^2} = \frac{3 + 3i + 2i + 2i^2}{1 + 1} = \frac{3 + 5i + 2(-1)}{2} = \frac{3 + 5i - 2}{2} = \frac{1 + 5i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i$.

Ответ: $\frac{1}{2} + \frac{5}{2}i$.

г) Выполним деление $(3 - 5i)$ на $(3 + 4i)$. Комплексно сопряженное к знаменателю $(3 + 4i)$ есть $(3 - 4i)$.

$\frac{3 - 5i}{3 + 4i} = \frac{(3 - 5i)(3 - 4i)}{(3 + 4i)(3 - 4i)} = \frac{3 \cdot 3 - 3 \cdot 4i - 5i \cdot 3 + 5i \cdot 4i}{3^2 + 4^2} = \frac{9 - 12i - 15i + 20i^2}{9 + 16} = \frac{9 - 27i + 20(-1)}{25} = \frac{9 - 27i - 20}{25} = \frac{-11 - 27i}{25} = -\frac{11}{25} - \frac{27}{25}i$.

Ответ: $-\frac{11}{25} - \frac{27}{25}i$.

д) Выполним деление $(10 + i)$ на $(3 + 5i)$. Комплексно сопряженное к знаменателю $(3 + 5i)$ есть $(3 - 5i)$.

$\frac{10 + i}{3 + 5i} = \frac{(10 + i)(3 - 5i)}{(3 + 5i)(3 - 5i)} = \frac{10 \cdot 3 - 10 \cdot 5i + i \cdot 3 - i \cdot 5i}{3^2 + 5^2} = \frac{30 - 50i + 3i - 5i^2}{9 + 25} = \frac{30 - 47i - 5(-1)}{34} = \frac{30 - 47i + 5}{34} = \frac{35 - 47i}{34} = \frac{35}{34} - \frac{47}{34}i$.

Ответ: $\frac{35}{34} - \frac{47}{34}i$.

е) Выполним деление $(10 - i)$ на $(13 - 5i)$. Комплексно сопряженное к знаменателю $(13 - 5i)$ есть $(13 + 5i)$.

$\frac{10 - i}{13 - 5i} = \frac{(10 - i)(13 + 5i)}{(13 - 5i)(13 + 5i)} = \frac{10 \cdot 13 + 10 \cdot 5i - i \cdot 13 - i \cdot 5i}{13^2 + (-5)^2} = \frac{130 + 50i - 13i - 5i^2}{169 + 25} = \frac{130 + 37i - 5(-1)}{194} = \frac{130 + 37i + 5}{194} = \frac{135 + 37i}{194} = \frac{135}{194} + \frac{37}{194}i$.

Ответ: $\frac{135}{194} + \frac{37}{194}i$.